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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 21

21- Determine a série de Fourier trigonométricas do sinal da Figura 17.59

Passo 1

Pela figura tiramos a informação do período que é:

T = 4

Portanto:

ω = 2 π 4 = π 2

E que:

f 4 = f ( - 4 )

Portanto temos uma função par logo b n = 0

E o comportamento dessa função será:

f t = 2 t + 2 ;   - 1 < t < 0

f t = - 2 t + 2 ; 0 < t < 1

Passo 2

Dessa forma a n será:

a n = 1 4 ∫ - 1 0 2 t + 2 d t + ∫ 0 1 - 2 t + 2 d t

a n = 1 4 t 2 + 2 t - 1 0 + - t 2 + 2 t 0 1

a n = 1 4 - 1 + 2 - 1 + 2 = 1 2

Passo 3

Agora para a n :

a n = 2 4 ∫ - 1 0 2 t + 2 cos ⁡ n π 2 t d t + ∫ 0 1 - 2 t + 2 cos ⁡ n π 2 t d t

a n = ∫ - 1 0 t c o s n π 2 t d t + ∫ - 1 0 cos ⁡ n π 2 t d t + ∫ 0 1 - t c o s n π 2 t d t + ∫ 0 1 cos ⁡ n π 2 t d t

a n = 2 n π sin ⁡ n π t 2 0 1 + sin ⁡ n π t 2 - 1 0 + ∫ - 1 0 t c o s n π 2 t d t + ∫ 0 1 - t c o s n π 2 t d t

a n = 2 n π 2 sin ⁡ n π 2 + ∫ - 1 0 t c o s n π 2 t d t + ∫ 0 1 - t c o s n π 2 t d t

Onde:

∫ u   d v = u v - ∫ v d u

u = t → d u = d t

d v = cos ⁡ n π t 2 → v = 2 π n sin ⁡ n π t 2

Logo:

∫ t c o s n π t 2 d t = 2 t π n sin ⁡ n π t 2 - 2 π n ∫ sin ⁡ n π t 2 d t

∫ t c o s n π t 2 d t = 2 t π n sin ⁡ n π t 2 + 4 π 2 n 2 cos ⁡ n π t 2

Então:

a n = 2 n π 2 sin ⁡ n π 2 + 2 t π n sin ⁡ n π t 2 + 4 π 2 n 2 cos ⁡ n π t 2 - 1 0 - 2 t π n sin ⁡ n π t 2 + 4 π 2 n 2 cos ⁡ n π t 2 0 1

a n = 2 n π 2 sin ⁡ n π 2 + 8 π 2 n 2 - 2 π n sin ⁡ n π 2 - 2 π n sin ⁡ n π 2 - 4 π 2 n 2 cos ⁡ n π 2 - 4 π 2 n 2 cos ⁡ n π 2

Eu apliquei o intervalo meio que já juntando os termos que seriam semelhantes. Faz com calma que dá certo.

a n = 8 π 2 n 2 - 8 π 2 n 2 cos ⁡ n π 2

a n = 8 π 2 n 2 1 - cos ⁡ n π 2

Passo 4

Dessa forma nossa série de Fourier fica:

f t = 1 2 + ∑ n = 0 ∞ 8 π 2 n 2 1 - cos ⁡ n π 2 cos ⁡ n π t 2  

Plotando essa função para 100 pontos nós teremos:

O que mostra que estamos certos.

Resposta

f t = 1 2 + ∑ n = 0 ∞ 8 π 2 n 2 1 - cos ⁡ n π 2 cos ⁡ n π t 2  

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