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Enunciado

Elétrica - James W. Nilsson, Circuitos Elétricos- Ed: 10º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 27

Admita que, no instante em que a fonte de corrente cc de 2 A é aplicada ao circuito da Figura P8.27, a corrente inicial no indutor de 25 mH seja 1 A e a tensão inicial no capacitor seja 50 V (positiva no terminal superior). Determine a expressão para i L ( t ) para t ≥ 0, se R for igual a 12,5 Ω .

Passo 1

Faaaaala, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Para resolvermos esse exercício, devemos primeiramente determinar a resposta do circuito a ser analisado. Para isso, basta fazermos a comparação entre os valores de α e   ω 0 : Se α > ω 0 , o circuito é superamortecido. Se α < ω 0 , o circuito é subamortecido. E se α = ω 0 , o circuito é criticamente amortecido.

Sendo assim, calcularemos primeiro os valores de α e   ω 0 :

Para α , utilizaremos a fórmula: α = 1 2 R C .

Substituindo os valores na fórmula de α temos:

α = 1 2 ( 12,5 ) ( 62,5 * 10 - 6 ) = 640   r a d / s

Já para ω 0 , como L e C foram dados no enunciado, temos que:

  ω 0 = 1 L C = 1 ( 25 * 10 - 3 ) ( 62,5 * 10 - 6 ) = 800   r a d / s

Portanto, comparando os dois valores, podemos afirmar que α < ω 0 , portanto, o circuito é subamortecido.

Passo 2

Em seguida, para encontrarmos a expressão para i L ( t ) , como sabemos que o circuito é subamortecido, utilizaremos:

i L t = I + B 1 ' e - α t cos ⁡ ω d t + B 2 ' e - α t sin ⁡ ω d t

Como já temos o valor de I que foi dado no enunciado, e o valor de α que foi calculado no passo anterior, temos que:

i L t = 2 + B 1 ' e - 640 t cos ⁡ ω d t + B 2 ' e - 640 t sin ⁡ ω d t

Passo 3

Por fim, precisamos completar os valores de ω d ,   B 1 '   e   B 2 ' .

Para ω d , faremos o seguinte:

ω d = α 2 + ω 0 2 = 640 2 + 800 2 = 480   r a d / s

Para B 1 ' , temos:

i L 0 = 2 + B 1 ' = 1         →         B 1 ' = - 1

Para B 2 ' , temos:

d i L d t 0 = - α B 1 ' + ω d B 2 ' = V 0 L

- 640 - 1 + 480 B 2 ' = 50 25 * 10 - 3

B 2 ' = 2,83

Substituindo na expressão do passo 2, temos:

i L t = 2 - e - 640 t cos ⁡ 480 t + 2,83 e - 640 t sin ⁡ 480 t   A ,     t ≥ 0

Prontinho, pessoal!! Bem tranquilo, não é mesmo? Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

i L t = 2 - e - 640 t cos ⁡ 480 t + 2,83 e - 640 t sin ⁡ 480 t   A ,     t ≥ 0

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Referindo-se ao circuito da Figura 8.66, determine:(a) i ( 0 + ) e v ( 0 + ) (b) d i ( 0 + ) / d t e d v ( 0 + ) / d t (c) i ( ∞ ) e v ( ∞ )