Calcule v para t > 0, se 0 circuito esta em regime permanente em t = 0.

Passo 1

Eaeeee pessoal, vamos lá!

Em t > 0   no nosso circuito RLC em série, fazendo a LKT no circuito, temos

L d i d t + R i + 1 C ∫ 0 t i   d t + v ( 0 ) = 0

Com equação característica:

L s 2 + R s + 1 C = 0

Então vamos aplicar isso no nosso problema, fechou?

Passo 2

A equação que define o nosso circuito, portanto, será

s 2 + 4 s + 20 = 0

Em que as raízes são:

s 1,2 = - 2 ± 4 j

Agora gente, vamos lá, é o seguinte

Encontramos as frequências naturais da corrente, que nesse caso serão as mesmas da tensão v

Essas frequências são complexas, ou seja, o nosso circuito será subamortecido

Looogo, podemos escrever a resposta assim olha:

v t = e - α t A 1 . cos ⁡ ω d t + A 2 . s e n ω d t

Onde α é a parte real das frequências e ω d é a parte imaginária

Então:

v t = e - 2 t A 1 . cos ⁡ 4 t + A 2 . s e n 4 t

Mas essa é a resposta natural, precisamos acrescentar a resposta forçada. Como no regime permanente o capacitor é um curto circuito, temos que v f = 8   V . Então, a resposta completa é

v t = e - 2 t A 1 . cos ⁡ 4 t + A 2 . s e n 4 t + 8

Resposta

v t = e - 2 t A 1 . cos ⁡ 4 t + A 2 . s e n 4 t + 8

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