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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 52

Calcule a série de Fourier complexa para   f t = e t , - π < t < π , com f t + 2 π n = f t   para todos os valores inteiros de n .

Passo 1

De acordo com o nosso amigo Fourier exponencial, podemos obter c n (coeficientes da série de Fourier) através da integral:

c n = 1 T ∫ - T / 2 T / 2 f t e - j ω 0 n t   d t

No nosso caso, temos uma função de período T = 2 π , ou seja...

ω 0 = 2 π 2 π = 1

Substituindo então no c n ...

c n = 1 2 π ∫ - π π e - t e - j n t d t   →

c n = 1 2 π ∫ - π π e - j n t - t d t =

c n = 1 2 π ∫ - π π e - j n + 1 t d t

Podemos calcular essa integral! Bora?

Passo 2

Lembrando-se de que a integral de uma exponencial como esta é dada por:

∫     e a t d t = e a t a

Então no nosso caso...

c n = 1 2 π ∫ - π π e - j n + 1 t d t = 1 2 π e - j n + 1 t - j n + 1 - π π =

Substituindo-se os limites de integração...

e - j n + 1 π - j n + 1 - e j n + 1 π - j n + 1 =

- e - j n + 1 π - e j n + 1 π j n + 1 =

Separando as exponenciais

- e - j n π e - π - e j n π e π j n + 1 =

Bem, sabendo que e - j n π = sin ⁡ n π - j cos ⁡ n π ...

- sin ⁡ n π - j cos ⁡ n π e - π - sin ⁡ n π + j cos ⁡ n π e π j n + 1 =

- sin ⁡ n π e - π - j cos ⁡ n π e - π - sin ⁡ n π e π - j cos ⁡ n π e π j n + 1 =

Como sin ⁡ n π   é 0 e cos ⁡ n π = - 1 n

C n = - - j - 1 n e - π - j - 1 n e π j n + 1 =

C n = - - j - 1 n e - π - e π j n + 1

Passo 3

Ta aí! Os nosso coeficientes. De acordo com Fourier podemos então representar f assim:

f t = ∑ n = - ∞ ∞ c n e j ω 0 n t =

∑ n = - ∞ ∞ - e - π - e π - j - 1 n j n + 1 e j ω 0 n t

Resposta

f t = ∑ n = - ∞ ∞ - e - π - e π - j - 1 n j n + 1 e j ω 0 n t

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