Enunciado

8.38) Calcule v para todo t, se (a) vg = 12u(t) V e (b) vg = 12[u(t)-u(t-1)]V.

Passo 1

E aí galerinhaaa!! Vamos resolver essa questão juntinhos, beleza??

Nosso circuito é mostrado abaixo:

Primeiro, temos a letra (a), em que v g = 12 u ( t ) . Nesse caso, devemos analisar o circuito em dois momentos: t 0.

Para t

u t = 0 ⇒ v g = 0   V

Como v g é nulo e não consideramos nenhuma condição inicial para a energia armazenada no indutor assume-se que esta é nula também. Portanto,

v t = 0 ,     t < 0

Para t > 0 temos:

u t = 1 ⇒ v g = 12   V

Resposta ao degrau é dada na forma:

v = v n + v f     ( 1 )

Onde,

v n = A e - R e q t / L       ( 2 )

R e q   é a resistência equivalente vista pelo indutor. Para achá-la, lembra que devemos curto-circuitar fonte de tensão e abrir fonte de corrente?? Sendo assim, temos:

R e q = 2 * 6 2 + 6 + 3 = 9 2       ( 3 )

Substituindo (3) em (2):

v n = A e - 9 * 2 * t 2 * 3 = A e - 3 t       ( 4 )

E por divisão de tensão e pela Lei de Ohm, a resposta forçada é o valor em regime permanente. Lembrando que indutor se comporta como um curto-circuito em regime permanente temos:

v f = 6 | | 3 2 + 6 | | 3 * 12 = 2 2 + 2 * 12 = 6   V       ( 5 )

Logo, associando as equações (4) e (5):

v = A e - 3 t + 6

Sabemos que v 0 + = v 0 - = 0 , portanto:

v 0 = A e - 3 * 0 + 6 = 0 ⇒

A = - 6

Chegamos que:

v t = 0   V ,                                                           t < 0 6 1 - e - 3 t   V ,     t > 0

Passo 2

Agora, para a letra (b), em que v g = 12 [ u t - u t - 1 ] , a diferença é que a resposta é composta de três componentes: t 1.

Para os dois primeiros casos a resposta é a mesma da letra (a), ou seja:

v t = 0   V ,                                                                             t < 0 6 ( 1 - e - 3 t )   V ,     0 < t < 1

Falta acharmos então a resposta do circuito sem fontes para t > 1. Para esse último caso, a equação de v é dada na forma:

v = B e - 3 t

Para t = 1- (instante imediatamente anterior a t = 1), a solução da resposta ao degrau nos dá:

v 1 - = 6 ( 1 - e - 3 )

Visto que a corrente no indutor é contínua, v 1 - = v 1 + , onde 1+ é o instante imediatamente após t = 1. Portanto,

v 1 + = B e - 3 = 6 ( 1 - e - 3 ) ⇒

B = 6 ( 1 - e - 3 ) e 3

Nossa solução será:

v = 6 1 - e - 3 e - 3 t - 1 ,     t > 1

A solução completa para a letra (b) fica então:

v t = 0   V ,                                                                                         t < 0 6 ( 1 - e - 3 t )   V ,                               0 < t < 1 6 1 - e - 3 e - 3 t - 1   V ,     t > 1

Prontinhooo, essa teve muito cálculo, mas deu pra pegar a ideia, né? Bora pra mais uma??

Resposta

  1. v t = 0   V ,                                                           t < 0 6 1 - e - 3 t   V ,                   t > 0
  2. v t = 0   V ,                                                                                         t < 0 6 ( 1 - e - 3 t )   V ,                               0 < t < 1 6 1 - e - 3 e - 3 t - 1   V ,                     t > 1

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