Calcule a transformada de Fourier do sinal na Figura 18.28 .

Passo 1

Galerinha, podemos expressar essa função da seguinte maneira:

f t = 0,5 t u t + 2 - u t - 2 ,     - 2 ≤ t ≤ 2

Ou seja, temos um degrau unitário modelado pela função f t = t 2 . Vamos aplicar a transformada de Fourier:

F ω = ∫ - ∞ ∞ f t e - j ω t d t

F ω = ∫ - ∞ ∞ 0,5 t u t + 2 - u t - 2 e - j ω t d t

F ω = ∫ - 2 2 t 2 e - j ω t d t

F ω = e - j ω t 2 - j ω 2 - j ω t - 1 - 2 2

F ω = - - j 2 ω - 1 e - j 2 ω - j 2 ω - 1 e j 2 ω 2 ω 2

F ω = j 2 ω e j 2 ω + e - j 2 ω - e j 2 ω - e - j 2 ω 2 ω 2

Passo 2

Vamos usar a seguinte relação trigonométrica exponencial:

cos ⁡ t = e j t + e - j t 2

Assim,

F ω = j 2 ω 2 cos ⁡ 2 ω - 2 sin ⁡ 2 ω 2 ω 2

F ω = j 4 ω cos ⁡ 2 ω 2 ω 2 - 2 sin ⁡ 2 ω 2 ω 2

F ω = j 2 cos ⁡ 2 ω ω - sin ⁡ 2 ω ω 2

Resposta

A transformada é igual a:

F ω = j 2 cos ⁡ 2 ω ω - sin ⁡ 2 ω ω 2

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