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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 1

A corrente em um circuito RLC é descrita por

d 2 i d t ² + 10 d i d t + 25 i = 0

Se i 0 = 2 e d i 0 d t = 0 , determine i ( t ) para t > 0 .

Passo 1

Primeiro vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo da equação beleza?

Lembrando quais são as transformadas de Laplace de derivadas:

L f n t = s n L f t - s n - 1 f 0 - s n - 2 f 0 - … - f n - 1 ( 0 )

Então, a transformada de Laplace da nossa equação é:

s 2 I s - s i 0 - i ' 0 + 10 s I s - i 0 + 25 I s = 0

Passo 2

Agora vamos substituir i ( 0 ) e i ' ( 0 ) pelos valores dados no enunciado:

s 2 I s - s 2 - 0 + 10 s I s - 2 + 25 I s = 0

s 2 I s - 2 s + 10 s I s - 20 + 25 I s = 0

Passando 2 s + 20 pro outro lado e colocando I ( s ) em evidência:

I s . s 2 + 10 s + 25 = 2 s + 20

Nosso próximo passo é isolar I ( s ) , pois assim teremos a expressão de I ( s ) e encontrando a sua transformada inversa, encontraremos i t , solução da equação diferencial :)

I s = 2 s + 20 s 2 + 10 s + 25

Como s 2 + 10 s + 25 tem raíz dupla em - 5 :

I s = 2 s + 20 ( s + 5 ) ²

Passo 3

Opa, agora para encontrarmos a transformada inversa, vamos começar fazendo frações parciais:

2 s + 20 s + 5 2 = A s + 5 + B ( s + 5 ) ²

2 s + 20 s + 5 2 = A ( s + 5 ) ( s + 5 ) ² + B ( s + 5 ) ²

2 s + 20 = A ( s + 5 ) + B

2 s + 20 = A s + 5 A + B

Igualando os termos de cada lado, temos o sistema:

A = 2 5 A + B = 20

Resolvendo o sisteminha:

A = 2

B = 10

Então:

2 s + 20 s + 5 2 = 2 s + 5 + 10 ( s + 5 ) ²

Passo 4

Agora é só encontrarmos a transformada inversa de cada termo com base nos modelos que já temos, assim:

i t = 2 e - 5 t + 10 t e - 5 t u t   A

Lembrando que usamos u ( t ) pois estamos trabalhando com t > 0 beleza?

Resposta

i t = 2 e - 5 t + 10 t e - 5 t u t   A

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