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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 94

94- Dada a equação de estado a seguir, determine y ( t ) :

x ˙ = - 4 4 - 2 0 x + 0 2 u ( t )

y t = 1 0 x

Passo 1

A equação de transferência é encontrada da seguinte forma:

H s = Y s Z s = C s I - A - 1 B

H s = 1 0 s + 4 - 4 2 s - 1 0 2

H s = 1 s 2 + 4 s + 8 × 1 0 s 4 - 2 s + 4 0 2

H s = 1 s 2 + 4 s + 8 × s 4 0 2 = 8 s 2 + 4 s + 8

Onde a função de transferência é dada por:

Y ( s ) X ( s ) = 8 s 2 + 4 s + 8

Supondo que estamos aplicando uma entrada degrau U ( s ) / s nós teremos uma saída Y ( s ) igual a:

Y s = 8 U ( s ) s   ( s 2 + 4 s + 8 )  

Passo 2

Agora vamos pegar essa função de transferência e converter para a variável t e para isso vamos separar essa equação:

Y s = U s A s + B s + 2 2 + 4

A = lim s → 0 ⁡ s × 8 s   ( s 2 + 4 s + 8 )   = lim s → 0 ⁡ 8 s 2 + 4 s + 8 = 1

1 s + B s + 2 2 + 4 = 8 s ( s 2 + 4 s + 8 )

B s + s + 2 2 + 4 s s + 2 2 + 4 = 8 s ( s 2 + 4 s + 8 )

B s + s + 2 2 + 4 = 8

B s + s 2 + 4 s + 8 = 8

B s = - s 2 - 4 s

B = - s - 4

Logo:

Y s = U ( s ) 1 s - s + 4 s + 2 2 + 4

Passo 3

Como vamos utilizar essa função para transformar a variável s em t se olharmos a tabela de transformada de laplace vemos que:

e a t sin ⁡ a t → a ( s - a ) 2 + a 2

e a t cos ⁡ a t → s - a ( s - a ) 2 + a 2

Então se escrevermos a função Y ( s ) da seguinte maneira:

Y s = U s 1 s + - ( s + 2 ) s + 2 2 + 4 + - 2 s + 2 2 + 4

Então fazendo a transformada nós iremos obter:

y t = u t 1 - e 2 t cos ⁡ 2 t - e 2 t sin ⁡ 2 t

y t = u t 1 - e 2 t cos ⁡ 2 t + sin ⁡ 2 t

Resposta

y t = u t 1 - e 2 t cos ⁡ 2 t + sin ⁡ 2 t

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