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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 97

97- Um sistema é formado pela conexão em cascata de dois sistemas, conforme exibido na Figura 16.106 . Dado que as respostas dos sistemas a um impulso são

h 1 t = 3 e - t u t ,                   h 2 = e - 4 t u ( t )

( a ) Obtenha a respsota a um impulso do sistema como um todo.

( b ) Verifique se o sistema como um todo é estável.

Passo 1

A transformada de Laplace para A   e - a t será:

L s = A s + a

Então transformando as funções h 1 e h 2 nós teremos:

H 1 s = 3 s + 1 ;     H 2 s = 1 s + 4

Então fazendo a função de transferência da Figura 16.106 nós temos:

V o s V i ( s ) = H 1 H 2 = 3 ( s + 1 ) ( s + 4 )

E como os pólos estão em s = - 1 e s = - 4 então podemos dizer que o sistema (mesmo em malha aberta) é estável.

Passo 2

O impulso significa que estamos imprimindo um pulso de intensidade U em um curtíssimo período de tempo ou que V i s = U ( s ) logo:

V o s = 3 U ( s ) s + 1 s + 4

Como representar esse sistema no tempo, é melhor caso consigamos separar essa fração em frações parciais do tipo:

3 s + 1 s + 4 = A s + 1 + B s + 4

3 s + 1 s + 4 = A s + 4 A + B s + B s + 1 s + 4

A + B s = 0 s

4 A + B = 3

A = - B

- 4 B + B = 3 → - 3 B = 3 → B = - 1

A = 1

Então:

V o s = U s 1 s + 1 + - 1 s + 4

Fazendo a transformada inversa temos:

v t = e - t - e - 4 t u ( t )

Resposta

a )   v t = e - t - e - 4 t u ( t )

b )   e s t á v e l .   p ó l o s : s = - 1 ; s = - 4

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