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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 58

Dado que

d v d t + 2 v + 5 ∫ 0 t v λ   d λ = 4 u ( t )

Com v 0 = - 1 , determine v ( t ) para t > 0 .

Passo 1

Primeiro vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo da equação beleza?

Lembrando quais são as transformadas de Laplace de derivadas:

L f n t = s n L f t - s n - 1 f 0 - s n - 2 f 0 - … - f n - 1 ( 0 )

Então, a transformada de Laplace da nossa equação é:

s V s - v 0 + 2 V s + 5 s V s = 4 s

Passo 2

Agora vamos substituir as condições iniciais dadas no enunciado:

s V s - ( - 1 ) + 2 V s + 5 s V s = 4 s

s V s + 1 ) + 2 V s + 5 s V s = 4 s

Colocando V ( s ) em evidência:

V s . s + 2 + 5 s = 4 s - 1

V s . s + 2 + 5 s = 4 s - s s

V s . s + 2 + 5 s = 4 - s s

Agora vamos isolar V ( s ) , pois assim teremos a expressão de V ( s ) e encontrando a sua transformada inversa, encontraremos v t , solução da equação diferencial :)

V s = 4 - s s s + 2 + 5 s

V s = 4 - s s 2 + 2 s + 5

Passo 3

Agora vamos remanejar V ( s ) para chegarmos em um dos modelos que conhecemos beleza?

V s = 5 - 1 - s s 2 + 2 s + 1 + 4

V s = 5 - ( s + 1 ) ( s + 1 ) ² + 4

Podemos dividir isso em duas frações:

V s = - ( s + 1 ) ( s + 1 ) ² + 2 ² + 5 ( s + 1 ) ² + 4

Multiplicando a segunda fração por 2 em cima e embaixo:

V s = - ( s + 1 ) ( s + 1 ) ² + 2 ² + 5 2 2 ( s + 1 ) ² + 2 ²

Agora dos dois lados temos modelos que conhecemos de transformada inversa de Laplace :D no caso:

v t = - 1 e - 1 t cos ⁡ 2 t + 5 2 e - t s e n 2 t u ( t )

Lembrando: acrescentamos u ( t ) pois o enunciado pede para t > 0

Resposta

v t = - 1 e - 1 t cos ⁡ 2 t + 5 2 e - t s e n 2 t u ( t )

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