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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 58

Dado que

(d v)/(d t) + 2 v + 5 int_0^t v (lambda) d lambda = 4 u ( t )

Com v (0) = - 1 , determine v ( t ) para t > 0 .

Passo 1

Primeiro vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo da equação beleza?

Lembrando quais são as transformadas de Laplace de derivadas:

L {f^n (t)} = s^n L {f (t)} - s^(n - 1) f (0) - s^(n - 2) f (0) - ... - f^(n - 1) ( 0 )

Então, a transformada de Laplace da nossa equação é:

(s V (s) - v (0)) + 2 V (s) + (5)/(s) V (s) = (4)/(s)

Passo 2

Agora vamos substituir as condições iniciais dadas no enunciado:

(s V (s) - ( - 1 )) + 2 V (s) + (5)/(s) V (s) = (4)/(s)

(s V (s) + 1 )) + 2 V (s) + (5)/(s) V (s) = (4)/(s)

Colocando V ( s ) em evidência:

V (s) . (s + 2 + (5)/(s)) = (4)/(s) - 1

V (s) . (s + 2 + (5)/(s)) = (4)/(s) - (s)/(s)

V (s) . (s + 2 + (5)/(s)) = (4 - s)/(s)

Agora vamos isolar V ( s ) , pois assim teremos a expressão de V ( s ) e encontrando a sua transformada inversa, encontraremos v (t) , solução da equação diferencial :)

V (s) = (4 - s)/(s (s + 2 + (5)/(s)))

V (s) = (4 - s)/(s^2 + 2 s + 5)

Passo 3

Agora vamos remanejar V ( s ) para chegarmos em um dos modelos que conhecemos beleza?

V (s) = (5 - 1 - s)/(s^2 + 2 s + 1 + 4)

V (s) = (5 - ( s + 1 ))/(( s + 1 ) ² + 4)

Podemos dividir isso em duas frações:

V (s) = (- ( s + 1 ))/(( s + 1 ) ² + 2 ²) + (5)/(( s + 1 ) ² + 4)

Multiplicando a segunda fração por 2 em cima e embaixo:

V (s) = (- ( s + 1 ))/(( s + 1 ) ² + 2 ²) + (5)/(2) (2)/(( s + 1 ) ² + 2 ²)

Agora dos dois lados temos modelos que conhecemos de transformada inversa de Laplace :D no caso:

v (t) = (- 1 e^(- 1 t) cos (2 t) + (5)/(2) e^(- t) s e n (2 t)) u ( t )

Lembrando: acrescentamos u ( t ) pois o enunciado pede para t > 0

Resposta

v (t) = (- 1 e^(- 1 t) cos (2 t) + (5)/(2) e^(- t) s e n (2 t)) u ( t )

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