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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 49

Use a integral de convolução para determinar:

a) t * e a t u ( t )

b) cos ⁡ t * cos ⁡ t u ( t )

Passo 1

a) Vamo lá calcular essa convolução:

t * e a t u t = ∫ 0 t e a λ t - λ   d λ

t * e a t u t = ∫ 0 t t . e a λ - λ . e a λ   d λ

Vamos separar essa integral na subtração de duas integrais distintas ok?

t * e a t u t = t ∫ 0 t e a λ   d λ - ∫ 0 t λ . e a λ   d λ

Calculando as integrais:

t * e a t u t = t . e a λ a 0 t - e a λ a 2 a λ - 1 0 t

t * e a t u t = t . e a t - 1 a - t . e a t a - e a t a 2 + 1 a ²

Passo 2

b) Nesse caso, a nossa integral fica assim:

cos ⁡ t * cos ⁡ t u t = ∫ 0 t c o s ⁡ ( λ ) . c o s t - λ   d λ

Por relação trigonométrica, temos que cos ⁡ a - b = cos ⁡ a . cos ⁡ b + s e n a . s e n ( b ) , então:

cos ⁡ t * cos ⁡ t u t = ∫ 0 t c o s ⁡ ( λ ) . ( cos ⁡ t . cos ⁡ λ + s e n t . s e n λ )   d λ

cos ⁡ t * cos ⁡ t u t = ∫ 0 t cos ⁡ λ . cos ⁡ t . cos ⁡ λ + cos ⁡ λ . s e n t . s e n λ   d λ

Vamos separar na soma de duas integrais:

cos ⁡ t * cos ⁡ t u t = ∫ 0 t cos ⁡ λ . cos ⁡ t . cos ⁡ λ   d λ + ∫ 0 t cos ⁡ λ . s e n t . s e n λ   d λ

Tirando as constantes:

cos ⁡ t * cos ⁡ t u t = c o s ⁡ ( t ) ∫ 0 t cos ² ⁡ λ   d λ + s e n ( t ) ∫ 0 t c o s ⁡ ( λ ) . s e n λ   d λ

Por relação trigonométrica, c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 :

cos ⁡ t * cos ⁡ t u t = c o s ⁡ ( t ) ∫ 0 t 1 + cos ⁡ 2 λ 2   d λ + s e n ( t ) ∫ 0 t c o s ⁡ ( λ ) . s e n λ   d λ

cos ⁡ t * cos ⁡ t u t = cos ⁡ t 2 ∫ 0 t 1 + cos ⁡ 2 λ   d λ + s e n ( t ) ∫ 0 t c o s ⁡ ( λ ) . s e n λ   d λ

Resolvendo as integrais:

cos ⁡ t * cos ⁡ t u t = cos ⁡ t . t + s e n 2 t 2 2 - s e n t . cos ⁡ t - 1 2

Resposta

a) t * e a t u t = t . e a t - 1 a - t . e a t a - e a t a 2 + 1 a ²

b) cos ⁡ t * cos ⁡ t u t = cos ⁡ t . t + s e n 2 t 2 2 - s e n t . cos ⁡ t - 1 2

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