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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 52

Use a transformada de Laplace para determinar i ( t ) para t > 0 , se

d 2 i d t ² + 3 d i d t + 2 i + δ t = 0

i 0 = 0 , i ' 0 = 3

Passo 1

Primeiro vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo da equação beleza?

Lembrando quais são as transformadas de Laplace de derivadas:

L f n t = s n L f t - s n - 1 f 0 - s n - 2 f 0 - … - f n - 1 ( 0 )

Além disso, a transformada do impulso δ t é 1 .

Então, a transformada de Laplace da nossa equação é:

s 2 I s - s i 0 - i ' 0 + 3 s I s - i 0 + 2 I s + 1 = 0

Passo 2

Agora vamos substituir i ( 0 ) e i ' ( 0 ) pelos valores dados no enunciado:

s 2 I s - s . 0 - 3 + 3 s I s - 0 + 2 I s + 1 = 0

s 2 I s + 3 s I s + 2 I s - 2 = 0

Passando - 2 pro outro lado e colocando I ( s ) em evidência:

I s . s 2 + 3 s + 2 = 2

Nosso próximo passo é isolar I ( s ) , pois assim teremos a expressão de I ( s ) e encontrando a sua transformada inversa, encontraremos i t , solução da equação diferencial :)

I s = 2 s 2 + 3 s + 2

Como as raízes de s 2 + 3 s + 2 são - 1 e - 2 :

I s = 2 ( s + 1 ) ( s + 2 )

Passo 3

Opa, agora para encontrarmos a transformada inversa, vamos começar fazendo frações parciais:

2 ( s + 1 ) ( s + 2 ) = A s + 1 + B s + 2

Fazendo aquele processinho de frações parciais dos exercícios da seção anterior, encontramos

A = 2

B = - 2

Então:

2 ( s + 1 ) ( s + 2 ) = 2 s + 1 - 2 s + 2

Passo 4

Agora é só encontrarmos a transformada inversa com base nos modelos que já temos, assim:

i t = ( 2 e - t - 2 e - 2 t ) u ( t )

Como t > 0 , acrescentamos o degrau u ( t )

Resposta

i t = 2 e - t - 2 e - 2 t u ( t )

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