Enunciado

Dado que F ω = F [ f t ] , prove que os seguintes resultados usando a definição de transformada de Fourier:

  1. F f t - t 0 = e - j ω t 0 F ( ω )
  2. F d f t d t = j ω F ( ω )
  3. F f - t = F - ω
  4. F t f t = j d d ω F ( ω )

Passo 1

Vamos provar essa letra (b), pessoal! Considerando a transformada inversa de Fourier, a diferenciação pode ser provada através de:

f t = F - 1 F ω = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ F ω e j ω t d ω

Agora, nós podemos derivar os dois lados da equação em relação a t :

f ' t = j ω 2 π ∫ - ∞ ∞ F ω e j ω t d ω = j ω 1 2 π ∫ - ∞ ∞ F ω e j ω t d ω

Aqui, podemos substituir a expressão que está dentro dos colchetes!

f ' t = j ω F - 1 F ω

Finalmente, nós temos:

F f ' t = j ω F F - 1 F ω

F f ' t = j ω F ω

Pronto, tá aí a prova! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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