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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 21

Demonstre que

∫ - ∞ ∞ s e n a ω a ω 2 d ω = π a

Passo 1

Pessoal a questão nos deu a seguinte sugestão de usar o fato que

F u t + a - u t - a = 2 a s e n a ω a ω

Vamos fazer que f t = u t + a - u ( t - a ) . Assim,

∫ - ∞ ∞ f 2 t d t = ∫ - a a 1 2 d t = 2 a … ( 1 )

No entanto, o teorema de Parseval nos diz:

∫ - ∞ ∞ f 2 t d t = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ F ω 2 d ω

Passo 2

Usando a equação ( 1 ) e o teorema de Parseval, temos:

2 a = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ F ω 2 d ω

2 a = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ 4 a 2 s e n a ω a ω 2 d ω

2 a = 4 a 2 2 π ∫ - ∞ ∞ s e n a ω a ω 2 d ω

Fazendo as devidas simplificações:

∫ - ∞ ∞ s e n a ω a ω 2 d ω = π a

Tá aí, conforme queríamos demonstrar! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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