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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 21

Demonstre que

int_(- oo)^(oo) ((s e n (a omega))/(a omega))^2 d omega = (pi)/(a)

Passo 1

Pessoal a questão nos deu a seguinte sugestão de usar o fato que

F [u (t + a) - u (t - a)] = 2 a ((s e n (a omega))/(a omega))

Vamos fazer que f (t) = u (t + a) - u ( t - a ) . Assim,

int_(- oo)^(oo) f^2 (t) d t = int_(- a)^a 1^2 d t = 2 a ... ( 1 )

No entanto, o teorema de Parseval nos diz:

int_(- oo)^(oo) f^2 (t) d t = (1)/(2 pi) int_(- oo)^(oo) |F (omega)|^2 d omega

Passo 2

Usando a equação ( 1 ) e o teorema de Parseval, temos:

2 a = (1)/(2 pi) int_(- oo)^(oo) |F (omega)|^2 d omega

2 a = (1)/(2 pi) int_(- oo)^(oo) 4 a^2 ((s e n (a omega))/(a omega))^2 d omega

2 a = (4 a^2)/(2 pi) int_(- oo)^(oo) ((s e n (a omega))/(a omega))^2 d omega

Fazendo as devidas simplificações:

int_(- oo)^(oo) ((s e n (a omega))/(a omega))^2 d omega = (pi)/(a)

Tá aí, conforme queríamos demonstrar! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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