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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 22

Prove que se F ( ω ) é a transformada de Fourier de f ( t ) ,

F f t s e n ( ω 0 t ) = j 2 [ F ω + ω 0 - F ω - ω 0 ]

Passo 1

Galera, pela definição da transformada de Fourier de f ( t ) :

F ω = F f t = ∫ - ∞ ∞ f t e - j ω t d t

Se multiplicarmos f ( t ) por s e n ( ω 0 t ) ,

F f t s e n ω 0 t = ∫ - ∞ ∞ f t e j ω 0 t - e - j ω 0 t 2 j e - j ω t d t  

Fazendo a distribuição:

F f t s e n ω 0 t = 1 2 j ∫ - ∞ ∞ f t e - j ω - ω 0 t d t - ∫ - ∞ ∞ f t e - j ω + ω 0 t d t

Aqui, podemos ver que temos dois deslocamentos na frequência! Assim,

F f t s e n ω 0 t = 1 2 j F ω - ω 0 - F ω + ω 0

Multiplicando o numerador e o denominador por j :

F f t s e n ω 0 t = j 2 [ F ω + ω 0 - F ω - ω 0 ]

Tá aí, conforme queríamos demonstrar! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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