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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 22

Prove que se F ( omega ) é a transformada de Fourier de f ( t ) ,

F [f (t) s e n ( omega_0 t )] = (j)/(2) [ F (omega + omega_0) - F (omega - omega_0) ]

Passo 1

Galera, pela definição da transformada de Fourier de f ( t ) :

F (omega) = F [f (t)] = int_(- oo)^(oo) f (t) e^(- j omega t) d t

Se multiplicarmos f ( t ) por s e n ( omega_0 t ) ,

F [f (t) s e n (omega_0 t)] = int_(- oo)^(oo) f (t) ((e^(j omega_0 t) - e^(- j omega_0 t))/(2 j)) e^(- j omega t) d t

Fazendo a distribuição:

F [f (t) s e n (omega_0 t)] = (1)/(2 j) [int_(- oo)^(oo) f (t) e^(- j (omega - omega_0) t) d t - int_(- oo)^(oo) f (t) e^(- j (omega + omega_0) t) d t]

Aqui, podemos ver que temos dois deslocamentos na frequência! Assim,

F [f (t) s e n (omega_0 t)] = (1)/(2 j) [F (omega - omega_0) - F (omega + omega_0)]

Multiplicando o numerador e o denominador por j :

F [f (t) s e n (omega_0 t)] = (j)/(2) [ F (omega + omega_0) - F (omega - omega_0) ]

Tá aí, conforme queríamos demonstrar! 😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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