Enunciado

Demonstre que L^(- 1) [(4 s^2 + 7 s + 13)/((s + 2) (s^2 + 2 s + 5))] = [sqrt(2) e^(- t) cos (2 t + 45 °) + 3 e^(- 2 t)] u ( t )

Passo 1

Para fazermos a transformada inversa de (4 s^2 + 7 s + 13)/((s + 2) (s^2 + 2 s + 5)) , vamos fazer frações parciais:

(4 s^2 + 7 s + 13)/((s + 2) (s^2 + 2 s + 5)) = (A)/(s + 2) + (B s + C)/(s^2 + 2 s + 5)

Lembrando que quando o denominador tem grau 2, o numerador deve ter grau 1 ;)

Para encontrarmos A , B e C , primeiro vamos somar as duas frações fazendo o MMC dos denominadores:

(4 s^2 + 7 s + 13)/((s + 2) (s^2 + 2 s + 5)) = (A (s^2 + 2 s + 5) + ( B s + C ) ( s + 2 ))/((s + 2) (s^2 + 2 s + 5))

Opa, dos dois lados temos o mesmo denominador, então vamos cortar:

4 s^2 + 7 s + 13 = A (s^2 + 2 s + 5) + ( B s + C ) ( s + 2 )

4 s^2 + 7 s + 13 = (A + B) s^2 + (2 A + 2 B + C) s + 5 A + 2 C

Passo 2

Agora é o seguinte: como temos uma igualdade, vamos igualar tudo que ta multiplicando s ³ no lado esquerdo com o lado direito e depois fazer o mesmo para s ² , s e os termos independentes. Isso vai nos dar o sistema:

{[[A + B = 4],[2 A + 2 B + C = 7],[5 A + 2 C = 13]])

Resolvendo esse sistema, temos

A = 3

B = 1

C = - 1

Então:

(4 s^2 + 7 s + 13)/((s + 2) (s^2 + 2 s + 5)) = (3)/(s + 2) + (s - 1)/(s^2 + 2 s + 5)

Passo 3

Vamos remanejar a segunda fração para encontrarmos o modelo (s - a)/((s - a)^2 + b ²) da tabela de transformadas inversas:

F (s) = (3)/(s + 2) + (s + 1 - 2)/(s^2 + 2 s + 1 + 4)

F (s) = (3)/(s + 2) + (( s + 1 ) - 2)/(( s + 1 ) + 2 ²)

Agora vamos separar o 2 dessa fração para termos o modelo (b)/((s - a) + b ²)

F (s) = (3)/(s + 2) + (( s + 1 ))/(( s + 1 ) + 2 ²) - (2)/(( s + 1 ) + 2 ²)

Agora sim, todos os termos estão em modelos que conhecemos da tabela e podemos encontrar nossa inversa:

f (t) = 3 e^(- 2 t) + e^(- t) cos 2 t - e^(- t) s e n 2 t

Passo 4

Vamos supor beta c o s theta = beta s e n theta = 1 e escrever f ( t ) assim:

f (t) = 3 e^(- 2 t) + e^(- t) ( beta c o s theta cos 2 t - beta s e n theta s e n 2 t )

É a mesma coisa certo?

Mas para que beta c o s theta = beta s e n theta = 1 , temos que ter theta = 45 ° e beta = sqrt(2) , pois:

sqrt(2) . (sqrt(2))/(2) = 1

Dessa forma:

f (t) = 3 e^(- 2 t) + e^(- t) sqrt(2) ( cos 45 ° cos 2 t - s e n 45 ° s e n 2 t )

Simplificando:

f (t) = [sqrt(2) e^(- t) cos (2 t + 45 °) + 3 e^(- 2 t)] u ( t )

E ta demonstradoo :D

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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