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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 55

Determine y ( t ) na seguinte equação diferencial, se as condições iniciais forem zero.

d 3 y d t 3 + 6 d 2 y d t ² + 8 d y d t = e - t cos ⁡ 2 t

Passo 1

Primeiro vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo da equação beleza?

Lembrando quais são as transformadas de Laplace de derivadas:

L f n t = s n L f t - s n - 1 f 0 - s n - 2 f 0 - … - f n - 1 ( 0 )

Então, a transformada de Laplace da nossa equação é:

s 3 Y s - s 2 y 0 - s y ' 0 - y ' ' ( 0 ) + 6 s 2 Y s - s y 0 - y ' 0 + 8 s Y s - y 0 = s + 1 s + 1 2 + 2 ²

Passo 2

Agora vamos substituir as condições iniciais por 0:

s 3 Y s - s 2 . 0 - s . 0 - 0 + 6 s 2 Y s - s . 0 - 0 + 8 s Y s - 0 = s + 1 s + 1 2 + 2 ²

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . ( s ³ + 6 s ² + 8 s ) = s + 1 s + 1 2 + 2 ²

Abrindo o denominador do lado direito e colocando s em evidência do lado esquerdo:

Y s . s ( s ² + 6 s + 8 ) = s + 1 s 2 + 2 s + 1 + 4

Agora vamos isolar Y ( s ) , pois assim teremos a expressão de Y ( s ) e encontrando a sua transformada inversa, encontraremos y t , solução da equação diferencial :)

Y s = s + 1 s s 2 + 6 s + 8 ( s 2 + 2 s + 5 )

Como as raízes de s 2 + 6 s + 8 são - 2 e - 4 :

Y s = s + 1 s s + 2 ( s + 4 ) ( s 2 + 2 s + 5 )

Passo 3

Opa, agora para encontrarmos a transformada inversa, vamos começar fazendo frações parciais:

s + 1 s s + 2 ( s + 4 ) ( s 2 + 2 s + 5 ) = A s + B s + 2 + C s + 4 + D s + E s 2 + 2 s + 5

Fazendo aquele processinho de frações parciais dos exercícios da seção anterior, encontramos

A = 1 40

B = 1 20

C = - 3 104

D = - 3 65

E = - 7 65

Então:

s + 1 s s + 2 ( s + 4 ) ( s 2 + 2 s + 5 ) = 1 40 . 1 s + 1 20 . 1 s + 2 - 3 104 . 1 s + 4 - 1 65 . 3 s + 7 s 2 + 2 s + 5

Remanejando a última fração para chegarmos a um modelo conhecido:

s + 1 s s + 2 ( s + 4 ) ( s 2 + 2 s + 5 ) = 1 40 . 1 s + 1 20 . 1 s + 2 - 3 104 . 1 s + 4 - 1 65 . 3 s + 1 s + 1 2 + 2 2 + 4 s + 1 2 + 2 2

Passo 4

Agora é só encontrarmos a transformada inversa de cada termo com base nos modelos que já temos, assim:

y t = 1 40 u t + 1 20 e - 2 t - 3 104 e - 4 t - 3 65 e - t cos ⁡ 2 t - 1 65 2 e - t s e n ( 2 t )

Resposta

y t = 1 40 u t + 1 20 e - 2 t - 3 104 e - 4 t - 3 65 e - t cos ⁡ 2 t - 1 65 2 e - t s e n ( 2 t )

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