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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 53

Se f t = e - 2 t , determine J = ∫ - ∞ ∞ F ω 2 d ω .

Passo 1

Então galera, vamos lá! Essa questão é sobre o Teorema de Parseval. Em matemática, Teorema de Parseval comumente se refere ao resultado que a transformada de Fourier é operador unitário. Isto se origina de um teorema de 1799 sobre séries matemáticas por Marc-Antoine Parseval, que foi aplicado posteriormente na série de Fourier. Ele basicamente nos diz que:

∫ - ∞ ∞ x t 2 d t = ∫ - ∞ ∞ X 2 π ω 2 d ω

Passo 2

Esse teorema trata basicamente de conservação de energia! Aplicando ele para nosso problema, temos que:

J = ∫ - ∞ ∞ F ω 2 d ω = 2 π ∫ - ∞ ∞ f 2 ( t ) d t

Mas,

f t = e 2 t ,       t < 0 e - 2 t ,       t > 0

Portanto,

J = 2 π ∫ - ∞ 0 e 4 t d t + ∫ 0 ∞ e - 4 t d t = 2 π e 4 t 4 - ∞ 0 + e 4 t - 4 0 ∞ = 2 π 1 4 + 1 4 = π

Resposta

J = π

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