Se f (t) = e^(- 2 |t|) , determine J = int_(- oo)^(oo) |F (omega)|^2 d omega .

Passo 1

Então galera, vamos lá! Essa questão é sobre o Teorema de Parseval. Em matemática, Teorema de Parseval comumente se refere ao resultado que a transformada de Fourier é operador unitário. Isto se origina de um teorema de 1799 sobre séries matemáticas por Marc-Antoine Parseval, que foi aplicado posteriormente na série de Fourier. Ele basicamente nos diz que:

int_(- oo)^(oo) |x (t)|^2 d t = int_(- oo)^(oo) |X (2 pi omega)|^2 d omega

Passo 2

Esse teorema trata basicamente de conservação de energia! Aplicando ele para nosso problema, temos que:

J = int_(- oo)^(oo) |F (omega)|^2 d omega = 2 pi int_(- oo)^(oo) f^2 ( t ) d t

Mas,

f (t) = {[[e^(2 t) , t < 0],[e^(- 2 t) , t > 0]])

Portanto,

J = 2 pi [int_(- oo)^0 e^(4 t) d t + int_0^(oo) e^(- 4 t) d t] = 2 pi [((e^(4 t))/(4)|_(- oo)^0 + ((e^(4 t))/(- 4)|_0^(oo)] = 2 pi [((1)/(4)) + ((1)/(4))] = pi

Resposta

J = pi

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