Enunciado

Determine f (t) para cada F (s) :

(s + 1)/((s + 2) (s^2 + 2 s + 5))

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

(s + 1)/((s + 2) (s^2 + 2 s + 5))

No nosso caso, a primeira coisa a se fazer é aplicar separar em frações parciais (mas lembre-se de que quando temos um termo quadrático no denominador, em cima fica dele fica uma reta B s + D no caso):

(A)/(s + 2) + (B s + C)/(s^2 + 2 s + 5)

Passo 2

Então, colocando as duas frações em uma só, colocando o mesmo denominador...

(A)/(s + 2) + (B s + C)/(s^2 + 2 s + 5) =

(A (s^2 + 2 s + 5) + (B s + C) (s + 2))/((s + 2) (s^2 + 2 s + 5))

Igualando e cancelando o denominador...

(s + 1)/((s + 2) (s^2 + 2 s + 5)) = (A (s^2 + 2 s + 5) + (B s + C) (s + 2))/((s + 2) (s^2 + 2 s + 5)) ->

A (s^2 + 2 s + 5) + (B s + C) (s + 2) = s + 1

Então...

A s^2 + 2 A s + 5 A + B s^2 + 2 B s + C s + 2 C = s + 1 ->

(A + B) s^2 + (2 A + 2 B + 2 C) s + 5 A + 2 C = s + 1 ->

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios...

A + B = 0

2 A + 2 B + 2 C = 1

5 A + 2 C = 10

Resolvendo esse sisteminha...

A = - B -> - 2 B + 2 B + 2 C = 1 -> C = 1 // 2

5 A + 2 C = 10 -> 5 A = 9 -> A = 9 // 5

Então...

B = - (9)/(5) , A = (9)/(5) e C = (1)/(2)

Ou seja, por frações parciais concluímos que F_3 (s) é...

(9)/(5) (1)/(s + 2) + (- (9)/(5) s + (1)/(2))/(s^2 + 2 s + 5)

Passo 3

Poxa, mas essa fração com s^2 ainda está horrível, não está? Como s^2 + 2 s + 5 não tem raiz porque 2^2 é menor que 4 * 5 , podemos usar a ideia de completar quadrados então onde vamos transformar em:

s^2 + 2 s + 5 = (s + a)^2 + b^2 ->

s^2 + 2 s + 5 = s^2 + 2 a s + a^2 + b^2 ->

Então...

2 a = 2

E

a^2 + b^2 = 5

Onde tiramos que a = 1 e b = 2 . Então...

(9)/(5) (1)/(s + 2) + (- (9)/(5) s + (1)/(2))/(s^2 + 2 s + 5) ->

(9)/(5) (1)/(s + 2) + (- (18)/(10) s + (5)/(10))/((s + a)^2 + b^2) =

(9)/(5) (1)/(s + 2) - (1)/(10) (18 s + 5)/((s + 1)^2 + 2^2)

Passo 4

Ta chegando a algo que a gente conhece, não é verdade? Mas assim se tem s + 1 , temos que colocar todos os s do mesmo jeito! A gente pode fazer isso separando o 5 em 18 e - 13 :

(9)/(5) (1)/(s + 2) - (1)/(10) (18 s + 18 - 13)/((s + 1)^2 + 2^2)

E agora separando as frações...

(9)/(5) (1)/(s + 2) - (18)/(10) (s + 1)/((s + 1)^2 + 2^2) + (13)/(20) (2)/((s + 1)^2 + 2^2)

Viu só! Apareceu o s + 2 lá em cima também! E por que isso é tão importante?

Passo 5

Porque agora precisamos buscar a inversa de todo mundo...

(9)/(5) L^(- 1) {(1)/(s + 2)} - (18)/(10) L^(- 1) {(s + 1)/((s + 1)^2 + 2^2)} + (13)/(20) L^(- 1) {(2)/((s + 1)^2 + 2^2)}

E a Laplace inversa de uma função F (s + c) é...

L^(- 1) {F (s + c)} = e^(- c t) L^(- 1) {F (s)}

Logo...

(9)/(5) L^(- 1) {(1)/(s + 2)} - (18)/(10) e^(- t) L^(- 1) {(s)/(s^2 + 2^2)} + (13)/(20) e^(- t) L^(- 1) {(1)/(s^2 + 2^2)}

Essas Laplaces inversas são todas conhecidas:

(9)/(5) e^(- 2 t) - (18)/(10) e^(- t) cos (2 t) + (13)/(20) e^(- t) sin (2 t)

Resposta

(9)/(5) e^(- 2 t) - (18)/(10) e^(- t) cos (2 t) + (13)/(20) e^(- t) sin (2 t)

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