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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 31c

Determine f t para cada F s :

s + 1 s + 2 s 2 + 2 s + 5

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

s + 1 s + 2 s 2 + 2 s + 5  

No nosso caso, a primeira coisa a se fazer é aplicar separar em frações parciais (mas lembre-se de que quando temos um termo quadrático no denominador, em cima fica dele fica uma reta B s + D no caso):

A s + 2 + B s + C s 2 + 2 s + 5  

Passo 2

Então, colocando as duas frações em uma só, colocando o mesmo denominador...

A s + 2 + B s + C s 2 + 2 s + 5 =

A s 2 + 2 s + 5 + B s + C s + 2 s + 2 s 2 + 2 s + 5  

Igualando e cancelando o denominador...

s + 1 s + 2 s 2 + 2 s + 5 = A s 2 + 2 s + 5 + B s + C s + 2 s + 2 s 2 + 2 s + 5 →

A s 2 + 2 s + 5 + B s + C s + 2 = s + 1

Então...

A s 2 + 2 A s + 5 A + B s 2 + 2 B s + C s + 2 C = s + 1 →

A + B s 2 + 2 A + 2 B + 2 C s + 5 A + 2 C = s + 1 →

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios...

A + B = 0

2 A + 2 B + 2 C = 1

5 A + 2 C = 10

Resolvendo esse sisteminha...

A = - B       →       - 2 B + 2 B + 2 C = 1             →           C = 1 / 2  

5 A + 2 C = 10         →             5 A = 9   →             A = 9 / 5

Então...

B = - 9 5 ,           A = 9 5               e           C = 1 2

Ou seja, por frações parciais concluímos que F 3 s é...

9 5 1 s + 2 + - 9 5 s + 1 2 s 2 + 2 s + 5  

Passo 3

Poxa, mas essa fração com s 2 ainda está horrível, não está? Como s 2 + 2 s + 5 não tem raiz porque 2 2 é menor que 4 ⋅ 5 , podemos usar a ideia de completar quadrados então onde vamos transformar em:

s 2 + 2 s + 5 = s + a 2 + b 2   →

s 2 + 2 s + 5 = s 2 + 2 a s + a 2 + b 2   →

Então...

2 a = 2

E

a 2 + b 2 = 5

Onde tiramos que a = 1 e b = 2 . Então...

9 5 1 s + 2 + - 9 5 s + 1 2 s 2 + 2 s + 5   →

9 5 1 s + 2 + - 18 10 s + 5 10 s + a 2 + b 2 =

9 5 1 s + 2 - 1 10 18 s + 5 s + 1 2 + 2 2  

Passo 4

Ta chegando a algo que a gente conhece, não é verdade? Mas assim se tem s + 1 , temos que colocar todos os s do mesmo jeito! A gente pode fazer isso separando o 5 em 18 e - 13 :

9 5 1 s + 2 - 1 10 18 s + 18 - 13 s + 1 2 + 2 2

E agora separando as frações...

9 5 1 s + 2 - 18 10 s + 1 s + 1 2 + 2 2 + 13 20 2 s + 1 2 + 2 2

Viu só! Apareceu o s + 2 lá em cima também! E por que isso é tão importante?

Passo 5

Porque agora precisamos buscar a inversa de todo mundo...

9 5 L - 1 1 s + 2 - 18 10 L - 1 s + 1 s + 1 2 + 2 2 + 13 20 L - 1 2 s + 1 2 + 2 2

E a Laplace inversa de uma função F s + c é...

L - 1 F s + c = e - c t L - 1 F s

Logo...

9 5 L - 1 1 s + 2 - 18 10 e - t L - 1 s s 2 + 2 2 + 13 20 e - t L - 1 1 s 2 + 2 2

Essas Laplaces inversas são todas conhecidas:

9 5 e - 2 t - 18 10 e - t cos ⁡ 2 t + 13 20 e - t sin ⁡ 2 t  

Resposta

9 5 e - 2 t - 18 10 e - t cos ⁡ 2 t + 13 20 e - t sin ⁡ 2 t  

Ver Outros Exercícios desse livro