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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 43

A tensão nos terminais de um circuito é

v t = 30 + 20 cos ⁡ 60 π t + 45 ° + 10 cos ⁡ 120 π t - 45 ° V

Se a corrente que entra no terminal de potencial mais elevado for

i t = 6 + 4 cos ⁡ 60 π t + 10 ° - 2 cos ⁡ 120 π t - 60 ° A

Determine:

  1. O valor R M S da Tensão.
  2. O valore R M S da corrente.
  3. A potência média absorvida pelo circuito.

Passo 1

Poxa, a tensão R M S é dada pela fórmula:

v r m s = 1 L ∫ - L L v 2 x d x =

Reconhece esse cara aí dentro da integral? Ele é o da Identidade de Parceval! Então devido a isso, podemos fazer essa substituição maravilhosa aqui:

v r m s = a 0 2 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ a n 2 + b n 2 =

Ora, no nosso caso, o nosso v está representado apenas em cossenos...

v t = 30 + 20 cos ⁡ 60 π t + 45 ° + 10 cos ⁡ 120 π t - 45 ° V

Então b n = 0 (parte que representa o seno ):

v r m s = a 0 2 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ a n 2

a 0 representa a componente D C ...

a 0 = 30

Enquanto que a 1 e a 2 representa os coeficientes na frente do cosseno:

a 1 = 20       e       a 2 = 10

Logo...

v r m s = 30 2 + 1 2 20 2 + 10 2 =

33,91 V

Passo 2

L e t r a   B :

De forma análogo podemos resolver esse item do problema, veja:

i r m s = a 0 2 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ a n 2

Mas no nosso caso...

i t = 6 + 4 cos ⁡ 60 π t + 10 ° - 2 cos ⁡ 120 π t - 60 ° A

a 0 = 6

a 1 = 4

a 2 = - 2

Então...

i r m s = 6 2 + 1 2 4 2 + - 2 2 =

6,782 A

Passo 3

L e t r a   C :

Aqui é um pouquinho diferente, lembre-se que potência sempre pode ser calculada usando Fourier dessa forma aqui:

P = V d c I d c + 1 2 ∑ n = 1 k V n I n cos ⁡ Θ n - Φ n

Onde no nosso caso...

v t = 30 + 20 cos ⁡ 60 π t + 45 ° + 10 cos ⁡ 120 π t - 45 ° V

i t = 6 + 4 cos ⁡ 60 π t + 10 ° - 2 cos ⁡ 120 π t - 60 ° A

Temos que V d c e I d c as componentes de corrente contínua (os números soltos)...

V d c = 30         e         I d c = 6

Já o somatório, depende das quantidades de frequências que se tem no problema. No nosso caso, temos dois cossenos (tanto para i quanto para v ), um cosseno da componente de 60 H z e outro 120 ° , de tal forma que o módulo e o ângulo de defasagem de todos os são...

60   H z     →                         V 1 = 20     e       Θ 1 = 45 ° I 1 = 4         e       Φ 1 = 10 °

E para 120 ° ...

120 H z     →                         V 1 = 10     e       Θ 1 = - 45 ° I 1 = 2         e       Φ 1 = - 60 °

Assim, no nosso caso, k = 2 e podemos desmembrar o somatório dessa forma aqui:

P = V d c I d c + 1 2 ∑ n = 1 k V n I n cos ⁡ Θ n - Φ n   →

P = V d c I d c + 1 2 V 1 I 1 cos ⁡ Θ 1 - Φ 1 + V 2 I 2 cos ⁡ Θ 2 - Φ 2     →

Substituindo...

P = 30 ⋅ 6 + 1 2 20 ⋅ 4 ⋅ cos ⁡ 45 ° - 10 ° + 10 ⋅ 2 cos ⁡ - 45 ° + 60 °     →

P = 180 + 32,76 - 9,659 = 203.1   W  

Resposta

a )   33,91 V

b )   6,782 A

C )   203,1 W

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