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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 11c

Determine F s se:

f t = 6 e - t cosh ⁡ 2 t

f t = 3 t e - 2 t sinh ⁡ 4 t

f t = 8 e - 3 t cosh ⁡ t u t - 2

Passo 1

Pois bem, para a solução desse problema, primeiro vamos transformar o cosseno hiperbólico em exponenciais lembrando-se da definição...

cosh ⁡ t = e t 2 + e - t 2

Então...

f t = 8 e - 3 t cosh ⁡ t u t - 2 = 8 e - 3 t e t 2 + e - t 2 u t - 2 =

4 e - 2 t + 4 e - 4 t u t - 2 = 4 e - 2 t u t - 2 + 4 e - 4 t u t - 2

Aplicando então a transformada de Laplace...

L f t = 4 L e - 2 t u t - 2 + 4 L e - 4 t u t - 2

Ora, de acordo com a teoria, podemos encontrar a Laplace de funções com o produto pela função degrau dessa maneira aqui:

L f t - a u t - a = e - a s L f t

Então, precisamos encontrar quem é f t e f t - a e aplicar Laplace nela! Bora?

Passo 2

Primeiro vamos resolver a primeira Laplace.

L e - 2 t u t - 2

Bem, a função f t vai ser a função que multiplica o degrau:

  e - 2 t u t - 2         →                   f t = e - 2 t

Bem, no nosso caso a = 2 pelo degrau que temos, então basta trocar t por t - 2 para determinar f t - 2 :

f t - 2 = e - 2 t - 2 = e - 2 t + 4 =

e 4 e - 2 t  

Bem, então aplicando a teoria...

L f t - a u t - a = e - a s L f t   →

L f t - 2 u t - 2 = e - 2 s L f t   →

L e 4 e - 2 t u t - 2 = e - 2 s L e - 2 t   →

A transformada de exponenciais é...

L e 4 e - 2 t u t - 2 = e - 2 s 1 s + 2     →

Tirando esse e 4 de dentro...

e 4 L e - 2 t u t - 2 = e - 2 s 1 s + 2     →

L e - 2 t u t - 2 = e - 2 s e 4 1 s + 2 = e - 2 s - 4 1 s + 2

Passo 3

Agora vamos resolver a segunda Laplace.

L e - 4 t u t - 2

Bem, a função f t vai ser a função que multiplica o degrau:

  e - 4 t u t - 2         →                   f t = e - 4 t

Então...

f t - 2 = e - 4 t - 2 = e - 4 t + 8 =

e 8 e - 4 t  

Então...

L e 8 e - 4 t u t - 2 = e - 2 s L e - 4 t   →

A transformada de exponenciais é...

L e 8 e - 4 t u t - 2 = e - 2 s 1 s + 4     →

Tirando esse e 8 de dentro...

e 8 L e - 4 t u t - 2 = e - 2 s 1 s + 4     →

L e - 4 t u t - 2 = e - 2 s e 8 1 s + 4 = e - 2 s - 8 1 s + 4

Passo 4

Logo...

L f t = 4 L e - 2 t u t - 2 + 4 L e - 4 t u t - 2   →

L f t = 4 e - 2 s - 4 1 s + 2 + 4 e - 2 s - 8 1 s + 4

Resposta

L f t = 4 e - 2 s - 4 1 s + 2 + 4 e - 2 s - 8 1 s + 4

Ver Outros Exercícios desse livro