Determine F (s) se:

f (t) = 6 e^(- t) cosh (2 t)

f (t) = 3 t e^(- 2 t) sinh (4 t)

f (t) = 8 e^(- 3 t) cosh (t) u (t - 2)

Passo 1

Pois bem, para a solução desse problema, primeiro vamos transformar o cosseno hiperbólico em exponenciais lembrando-se da definição...

cosh (t) = (e^t)/(2) + (e^(- t))/(2)

Então...

f (t) = 8 e^(- 3 t) cosh (t) u (t - 2) = 8 e^(- 3 t) ((e^t)/(2) + (e^(- t))/(2)) u (t - 2) =

(4 e^(- 2 t) + 4 e^(- 4 t)) u (t - 2) = 4 e^(- 2 t) u (t - 2) + 4 e^(- 4 t) u (t - 2)

Aplicando então a transformada de Laplace...

L {f (t)} = 4 L {e^(- 2 t) u (t - 2)} + 4 L {e^(- 4 t) u (t - 2)}

Ora, de acordo com a teoria, podemos encontrar a Laplace de funções com o produto pela função degrau dessa maneira aqui:

L {f (t - a) u (t - a)} = e^(- a s) L {f (t)}

Então, precisamos encontrar quem é f (t) e f (t - a) e aplicar Laplace nela! Bora?

Passo 2

Primeiro vamos resolver a primeira Laplace.

L {e^(- 2 t) u (t - 2)}

Bem, a função f (t) vai ser a função que multiplica o degrau:

e^(- 2 t) u (t - 2) -> f (t) = e^(- 2 t)

Bem, no nosso caso a = 2 pelo degrau que temos, então basta trocar t por t - 2 para determinar f (t - 2) :

f (t - 2) = e^(- 2 (t - 2)) = e^(- 2 t + 4) =

e^4 e^(- 2 t)

Bem, então aplicando a teoria...

L {f (t - a) u (t - a)} = e^(- a s) L {f (t)} ->

L {f (t - 2) u (t - 2)} = e^(- 2 s) L {f (t)} ->

L {e^4 e^(- 2 t) u (t - 2)} = e^(- 2 s) L {e^(- 2 t)} ->

A transformada de exponenciais é...

L {e^4 e^(- 2 t) u (t - 2)} = e^(- 2 s) ((1)/(s + 2)) ->

Tirando esse e^4 de dentro...

e^4 L {e^(- 2 t) u (t - 2)} = e^(- 2 s) ((1)/(s + 2)) ->

L {e^(- 2 t) u (t - 2)} = (e^(- 2 s))/(e^4) ((1)/(s + 2)) = e^(- 2 s - 4) ((1)/(s + 2))

Passo 3

Agora vamos resolver a segunda Laplace.

L {e^(- 4 t) u (t - 2)}

Bem, a função f (t) vai ser a função que multiplica o degrau:

e^(- 4 t) u (t - 2) -> f (t) = e^(- 4 t)

Então...

f (t - 2) = e^(- 4 (t - 2)) = e^(- 4 t + 8) =

e^8 e^(- 4 t)

Então...

L {e^8 e^(- 4 t) u (t - 2)} = e^(- 2 s) L {e^(- 4 t)} ->

A transformada de exponenciais é...

L {e^8 e^(- 4 t) u (t - 2)} = e^(- 2 s) ((1)/(s + 4)) ->

Tirando esse e^8 de dentro...

e^8 L {e^(- 4 t) u (t - 2)} = e^(- 2 s) ((1)/(s + 4)) ->

L {e^(- 4 t) u (t - 2)} = (e^(- 2 s))/(e^8) ((1)/(s + 4)) = e^(- 2 s - 8) ((1)/(s + 4))

Passo 4

Logo...

L {f (t)} = 4 L {e^(- 2 t) u (t - 2)} + 4 L {e^(- 4 t) u (t - 2)} ->

L {f (t)} = 4 e^(- 2 s - 4) ((1)/(s + 2)) + 4 e^(- 2 s - 8) ((1)/(s + 4))

Resposta

L {f (t)} = 4 e^(- 2 s - 4) ((1)/(s + 2)) + 4 e^(- 2 s - 8) ((1)/(s + 4))

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