Enunciado
Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 6
Determine dado que
Passo 1
A primeira coisa a se fazer em um problema como esse daí é desenhar essa colocando todas essa funções aí no plano :
Beleza, então para encontrar a transformada de Laplace de uma função definida por partes como essa da, devemos buscar a notação dela em forma de degrau.
Como dá para perceber no desenho, a função tem diferentes trechos:
- Trecho de até
- Trecho de até .
- Trecho de até , e;
- Trecho de até .
Vamos aqui analisando trecho por trecho e construindo a função , ok?
Passo 2
TRECHO DE ATÉ & TRECHO DE A :
Bem, perceba que de até a função vale e depois de (antes de ) ela começa a crescer de acordo com a reta . Isso pode ser escrito assim:
Passo 3
TRECHO DE ATÉ :
SHOW! Depois de até chegar no ela para de crescer com começa a decrescer com . A forma de anotar isso usando degrau é assim:
- Ela Para de Crescer com em :
- Ela Começa a Decrescer com em :
- Função para de decrescer em :
Ora, isso significa que assim que atinge , esse segundo degrau vira , e . Ou seja, a função de fato para de crescer, saca?
Perceba então que além dela parar de crescer, ela começa a decrescer em , e de fato isso acontece subtraindo novamente , afinal, em , todos os degrais são :
Passo 4
TRECHO DE ATÉ O :
Ora! Depois de , a função para de decrescer novamente fica pra sempre .
Antes de , ela decrescia de acordo com , então, para faze-la parar de decrescer:
Perceba que de fato está fazendo sentido, pois antes de , o degrau em negrito ali é , então ele não influencia em nada, mas depois de , todos os degrais são :
Passo 4
PRONTINHO! Podemos concluir então que a função é:
Passo 5
Agora vamos aplicar a transformada de Laplace nela!
Ora, a transformada de qualquer função vezes é...
Logo...
Então para calcular essas transformadas ali, precisamos saber quem é a transformada da função degrau:
Então...
Derivando o primeiro...
Derivando o segundo e o terceiro aplicando a regra da fração...
Simplificando agora...