Enunciado

Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:

6 e - t 3 u t  

Passo 1

Antes de qualquer coisa, observe que a função que precisamos buscar a Laplace é multiplicada por um degrau que começa em 0 :

u t = u 0 t

Toda vez que a gente tem um degrau do tipo, é como se não tivesse, ok? Então...

L 6 e - t 3 u t =

L 6 e - t 3 = 6 L e - t 3

Isso já simplifica um pouquinho, né? Agora, quem é a transformada dessa exponencial?

Passo 2

Ora, a transformada de uma função com o t multiplicada por um valor, a gente pode usar essa propriedade aqui:

L f a t = 1 a F s a

Então, considerando:

f t = e - t

Então...

f 1 3 t = e - t 3

Observe que nesse caso, estamos considerando a = 1 3 , logo:

L f a t = 1 a F s a   →

L e - t 3 = 1 1 / 3 F s 1 / 3

Onde F s é a transformada da nossa função f t :

L f t = F s =

L e - t = 1 s + 1

Então, no caso trocando o s por s 1 / 3 ...

F s 1 / 3 = 1 s 1 / 3 + 1 = 1 3 s + 1

Então...

L 6 e - t 3 u t = 6 1 1 / 3 F s 1 / 3 =

18 ⋅ 1 3 s + 1

Resposta

18 3 s + 1

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