Determine f ( t ) , dado que:

a) F (s) = (s^2 + 4 s)/(s^2 + 10 s + 26)

b) F (s) = (5 s^2 + 7 s + 29)/(s ( s^2 + 4 s + 29 ))

Passo 1

a) Vamos remanejar o numerador pra escrevermos nele a mesma coisa do denominador, olha:

F (s) = (s^2 + 4 s + 6 s - 6 s + 26 - 26)/(s^2 + 10 s + 26)

F (s) = (s^2 + 10 s + 26 - 6 s - 26)/(s^2 + 10 s + 26)

Logo:

F (s) = (s^2 + 10 s + 26)/(s^2 + 10 s + 26) + (- 6 s - 26)/(s^2 + 10 s + 26)

F (s) = 1 - ((6 s + 26)/(s^2 + 10 s + 26))

Passo 2

Agora vamos dar mais uma remanejada na segunda fração, com a finalidade de encontrar um quadrado perfeito:

F (s) = 1 - ((6 s + 30 - 4)/(s^2 + 10 s + 25 + 1))

F (s) = 1 - ((6 (s + 5) - 4)/(( s + 5 ) ² + 1))

Cuidado com os sinais:

F (s) = 1 - ((6 (s + 5))/((s + 5)^2 + 1 ²)) + (4)/((s + 5)^2 + 1 ²)

Finalmente podemos verificar na tabela cada um desses termos e acharmos a sua transformada inversa :D

f (t) = delta (t) - e^(- 5 t) . 6 cos t + e^(- 5 t) . 4 s e n t

Passo 3

b) Vamos fazer frações parciais, pois temos a multiplicação de termos no denominador:

(5 s^2 + 7 s + 29)/(s ( s^2 + 4 s + 29 )) = (A)/(s) + (B s + C)/(s^2 + 4 s + 29)

Somando as frações:

(5 s^2 + 7 s + 29)/(s ( s^2 + 4 s + 29 )) = (A (s^2 + 4 s + 29) + ( B s + C ) s)/(s ( s^2 + 4 s + 29 ))

Opa, o denominador é o mesmo, bora cortar:

5 s^2 + 7 s + 29 = A (s^2 + 4 s + 29) + ( B s + C ) s

5 s^2 + 7 s + 29 = A s^2 + 4 A s + 29 A + B s^2 + C s

Agrupando os termos:

5 s^2 + 7 s + 29 = ( A + B ) s^2 + ( 4 A + C ) s + 29 A

Passo 4

Como temos uma igualdade, vamos igualar tudo que estiver multiplicando s ² do lado esquerdo e do lado direito, e depois fazer o mesmo para s e para os termos independentes ;) Isso vai nos dar o sistema

{[[A + B = 5],[4 A + C = 7],[29 A = 29]])

Da terceira equação, temos que A = 1

Substituindo na primeira, encontramos B = 4

E substituindo na segunda, temos C = 3

Então:

F ( s ) = (1)/(s) + (4 s + 3)/(s^2 + 4 s + 29)

Passo 5

Vamos dar uma organizada nesse F ( s ) pra acharmos modelos parecidos com os da tabela de transformada inversa ok?

Vamos tentar encontrar um quadrado perfeito para chegarmos no modelo (s - a)/((s - a)^2 + b ²)

F ( s ) = (1)/(s) + (4 s + 3 + 5 - 5)/(s^2 + 4 s + 4 + 25)

F ( s ) = (1)/(s) + (4 s + 8 - 5)/(( s + 2 ) ² + 25)

F ( s ) = (1)/(s) + (4 ( s + 2 ) - 5)/(( s + 2 ) ² + 25)

Vamos separar em mais uma fração:

F (s) = (1)/(s) + (4 (s + 2))/((s + 2)^2 + 5^2) - (5)/(( s + 2 ) ² + 5 ²)

Boaaa, agora as 3 frações de F ( s ) podem ser encontradas na tabela :P

Assim:

f (t) = u (t) + e^(- 2 t) . 4 cos 5 t - e^(- 2 t) s e n 5 t

Resposta

a) f (t) = delta (t) - e^(- 5 t) . 6 cos t + e^(- 5 t) . 4 s e n t

b) f (t) = u (t) + e^(- 2 t) . 4 cos 5 t - e^(- 2 t) s e n 5 t

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