Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 38

Determine f ( t ) , dado que:

a) F s = s 2 + 4 s s 2 + 10 s + 26

b) F s = 5 s 2 + 7 s + 29 s ( s 2 + 4 s + 29 )

Passo 1

a) Vamos remanejar o numerador pra escrevermos nele a mesma coisa do denominador, olha:

F s = s 2 + 4 s + 6 s - 6 s + 26 - 26 s 2 + 10 s + 26

F s = s 2 + 10 s + 26 - 6 s - 26 s 2 + 10 s + 26

Logo:

F s = s 2 + 10 s + 26 s 2 + 10 s + 26 + - 6 s - 26 s 2 + 10 s + 26

F s = 1 - 6 s + 26 s 2 + 10 s + 26

Passo 2

Agora vamos dar mais uma remanejada na segunda fração, com a finalidade de encontrar um quadrado perfeito:

F s = 1 - 6 s + 30 - 4 s 2 + 10 s + 25 + 1

F s = 1 - 6 s + 5 - 4 ( s + 5 ) ² + 1

Cuidado com os sinais:

F s = 1 - 6 s + 5 s + 5 2 + 1 ² + 4 s + 5 2 + 1 ²

Finalmente podemos verificar na tabela cada um desses termos e acharmos a sua transformada inversa :D

f t = δ t - e - 5 t . 6 cos ⁡ t + e - 5 t . 4 s e n   t

Passo 3

b) Vamos fazer frações parciais, pois temos a multiplicação de termos no denominador:

5 s 2 + 7 s + 29 s ( s 2 + 4 s + 29 ) = A s + B s + C s 2 + 4 s + 29

Somando as frações:

5 s 2 + 7 s + 29 s ( s 2 + 4 s + 29 ) = A s 2 + 4 s + 29 + ( B s + C ) s s ( s 2 + 4 s + 29 )

Opa, o denominador é o mesmo, bora cortar:

5 s 2 + 7 s + 29 = A s 2 + 4 s + 29 + ( B s + C ) s

5 s 2 + 7 s + 29 = A s 2 + 4 A s + 29 A + B s 2 + C s

Agrupando os termos:

5 s 2 + 7 s + 29 = ( A + B ) s 2 + ( 4 A + C ) s + 29 A

Passo 4

Como temos uma igualdade, vamos igualar tudo que estiver multiplicando s ² do lado esquerdo e do lado direito, e depois fazer o mesmo para s e para os termos independentes ;) Isso vai nos dar o sistema

A + B = 5 4 A + C = 7 29 A = 29

Da terceira equação, temos que A = 1

Substituindo na primeira, encontramos B = 4

E substituindo na segunda, temos C = 3

Então:

F ( s ) = 1 s + 4 s + 3 s 2 + 4 s + 29

Passo 5

Vamos dar uma organizada nesse F ( s ) pra acharmos modelos parecidos com os da tabela de transformada inversa ok?

Vamos tentar encontrar um quadrado perfeito para chegarmos no modelo s - a s - a 2 + b ²

F ( s ) = 1 s + 4 s + 3 + 5 - 5 s 2 + 4 s + 4 + 25

F ( s ) = 1 s + 4 s + 8 - 5 ( s + 2 ) ² + 25

F ( s ) = 1 s + 4 ( s + 2 ) - 5 ( s + 2 ) ² + 25

Vamos separar em mais uma fração:

F s = 1 s + 4 s + 2 s + 2 2 + 5 2 - 5 ( s + 2 ) ² + 5 ²

Boaaa, agora as 3 frações de F ( s ) podem ser encontradas na tabela :P

Assim:

f t = u t + e - 2 t . 4 cos ⁡ 5 t - e - 2 t s e n   5 t

Resposta

a) f t = δ t - e - 5 t . 6 cos ⁡ t + e - 5 t . 4 s e n   t

b) f t = u t + e - 2 t . 4 cos ⁡ 5 t - e - 2 t s e n   5 t

Ver Outros Exercícios desse livro