Determine a transformada de Fourier da forma de onda exibida na Figura 18.29 .

Passo 1

Galerinha, podemos expressar essa função da seguinte maneira:

f t = - 2 t ,     - 1 < t < 0 2 t ,           0 < t < 1

Vamos aplicar a transformada de Fourier:

F ω = ∫ - ∞ ∞ f t e - j ω t d t

Isso significa que realizaremos a soma das transformadas nos 2 intervalos da função.

Passo 2

Temos então que:

F ω = ∫ - 1 0 - 2 t e - j ω t d t + ∫ 0 1 2 t e - j ω t d t

F ω = - 2 e - j ω t - j ω 2 - j ω t - 1 - 1 0 + 2 e - j ω t - j ω 2 - j ω t - 1 0 1

F ω = - 2 - 2 j ω - 1 e j ω ω 2 + - 2 - j ω - 1 e - j ω - 2 ω 2  

F ω = 2 e j ω + e - j ω ω 2 - 2 j ω e j ω - e - j ω ω 2 - 4 ω 2

Vamos usar as seguintes relações trigonométricas exponenciais:

cos ⁡ t = e j t + e - j t 2 ; sin ⁡ t = e j t - e - j t 2

Assim:

F ω = 2 2 cos ⁡ ω ω 2 - 2 j ω 2 sin ⁡ ω ω 2 - 4 ω 2

F ω = 4 cos ⁡ ω ω 2 - j ω 4 sin ⁡ ω ω 2 - 4 ω 2

F ω = 4 cos ⁡ ω ω 2 - j ω sin ⁡ ω ω 2 - 1 ω 2

Resposta

A transformada é igual a:

F ω = 4 cos ⁡ ω ω 2 - j ω sin ⁡ ω ω 2 - 1 ω 2

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