Enunciado

Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:

2 t u t - 4 d d t δ t

Passo 1

Antes de qualquer coisa, observe que a função que precisamos buscar a Laplace é multiplicada por um degrau que começa em 0 :

u t = u 0 t

Toda vez que a gente tem um degrau do tipo, é como se não tivesse, ok? Então...

L 2 t u t - 4 d d t δ t = 2 L t u t - 4 L d d t δ t =

2 L t - 4 L d d t δ t

Isso já simplifica um pouquinho, né? Agora, quem é cada uma dessas Laplaces aí?

Passo 2

Primeiro, vamos ver quem é a Laplace de t :

L t

Ora, sabemos que:

L t n = n ! s n + 1

Então...

L t = 1 ! s 1 + 1 =

1 s 2

Passo 3

Agora, calculemos a segunda Laplace:

L d d t δ t

Ora, Laplace de derivada pode ser encontrado dessa forma aqui:

L d n d t n f t = s n L f t - s n - 1 f 0 - s n - 2 f ' 0 - … - f n - 1 0

Então, no nosso caso, considerando f t igual ao δ t (delta de Dirac), e o n = 1 :

L d d t δ t = s L δ t - δ 0

Bem, a transformada do delta de dirac é assim:

L δ t - a = e - a s

No nosso caso, a = 0 , logo...

L δ t = e 0 = 1

L d d t δ t = s

Passo 4

Então...

L 2 t u t - 4 d d t δ t =

2 L t - 4 L d d t δ t =

2 s 2 + 4 s

Resposta

2 s 2 + 4 s

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