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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 30c

Determine a transformada de Laplace inversa de:

F 3 s = 10 s + 1 s 2 + 4 s + 8

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função F 3 a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

F 3 s = 10 s + 1 s 2 + 4 s + 8

No nosso caso, a primeira coisa a se fazer é aplicar separar em frações parciais (mas lembre-se de que quando temos um termo quadrático no denominador, em cima fica dele fica uma reta B s + D no caso):

F 3 s = A s + 1 + B s + C s 2 + 4 s + 8

Passo 2

Então, colocando as duas frações em uma só, colocando o mesmo denominador...

A s + 1 + B s + D s 2 + 4 s + 8 = A s 2 + 4 s + 8 s + 1 s 2 + 4 s + 8 + B s + C s + 1 s + 1 s 2 + 4 s + 8 =

A s 2 + 4 s + 8 + B s + C s + 1 s + 1 s 2 + 4 s + 8  

Igualando e cancelando o denominador...

10 s + 1 s 2 + 4 s + 8 = A s 2 + 4 s + 8 + B s + C s + 1 s + 1 s 2 + 4 s + 8 →

A s 2 + 4 s + 8 + B s + C s + 1 = 10

Então...

A s 2 + 4 A s + 8 A + B s 2 + B s + C s + C = 10 →

A + B s 2 + 4 A + B + C s + 8 A + C = 10 →

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios...

A + B = 0

4 A + B + C = 0

8 A + C = 10

Resolvendo esse sisteminha...

A = - B       →           4 A + B + C = 0             →           - 3 B + C = 0                   →

C = 3 B

8 A + C = 10         →               - 8 B + 3 B = 10     →

B = - 2 ,           A = 2               e           C = - 6

Ou seja, por frações parciais concluímos que F 3 s é...

F 3 s = 2 1 s + 1 + - 2 s - 6 s 2 + 4 s + 8

Passo 3

Poxa, mas essa fração com s 2 ainda está horrível, não está? Como s 2 + 4 s + 8   não tem raiz porque 4 2 é menor que 4 ⋅ 8 , podemos usar a ideia de completar quadrados então onde vamos transformar em:

s 2 + 4 s + 8 = s + a 2 + b 2   →

s 2 + 4 s + 8 = s 2 + 2 a s + a 2 + b 2   →

Então...

2 a = 4

E

a 2 + b 2 = 8

Onde tiramos que a = 2 e b = 2 . Então...

F 3 s = 2 1 s + 1 + - 2 s - 6 s 2 + 4 s + 8   →

F 3 s = 2 1 s + 1 + - 2 s - 6 s + 2 2 + 2 2 =

2 1 s + 1 - 2 s + 3 s + 2 2 + 2 2

Passo 4

Ta chegando a algo que a gente conhece, não é verdade? Mas assim se tem s + 2 , temos que colocar todos os s do mesmo jeito! A gente pode fazer isso separando o 3 em 2 e 1 :

F 3 s = 2 1 s + 1 - 2 s + 2 + 1 s + 2 2 + 2 2

E agora separando as frações...

F 3 s = 2 1 s + 1 - 2 s + 2 s + 2 2 + 2 2 -   2 s + 2 2 + 2 2

Viu só! Apareceu o s + 2 lá em cima também! E por que isso é tão importante?

Passo 5

Porque agora precisamos buscar a inversa de todo mundo...

L - 1 F 3 s = 2 L - 1 1 s + 1 - 2 L - 1 s + 2 s + 2 2 + 2 2 - L - 1 2 s + 2 2 + 2 2

E a Laplace inversa de uma função F s + c é...

L - 1 F s + c = e - c t L - 1 F s

Logo...

L - 1 F 3 s = 2 L - 1 1 s + 1 - 2 e - 2 t L - 1 s s 2 + 2 2 - e - 2 t L - 1 1 s 2 + 2 2

Essas Laplaces inversas são todas conhecidas:

L - 1 F 3 s = 2 e - t - 2 e - 2 t cos ⁡ 2 t - e - 2 t sin ⁡ 2 t

Resposta

L - 1 F 3 s = 2 e - t - 2 e - 2 t cos ⁡ 2 t - e - 2 t sin ⁡ 2 t

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