Enunciado

Determine a transformada de Laplace inversa de:

F_3 (s) = (10)/((s + 1) (s^2 + 4 s + 8))

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função F_3 a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

F_3 (s) = (10)/((s + 1) (s^2 + 4 s + 8))

No nosso caso, a primeira coisa a se fazer é aplicar separar em frações parciais (mas lembre-se de que quando temos um termo quadrático no denominador, em cima fica dele fica uma reta B s + D no caso):

F_3 (s) = (A)/(s + 1) + (B s + C)/(s^2 + 4 s + 8)

Passo 2

Então, colocando as duas frações em uma só, colocando o mesmo denominador...

(A)/(s + 1) + (B s + D)/(s^2 + 4 s + 8) = (A (s^2 + 4 s + 8))/((s + 1) (s^2 + 4 s + 8)) + ((B s + C) (s + 1))/((s + 1) (s^2 + 4 s + 8)) =

(A (s^2 + 4 s + 8) + (B s + C) (s + 1))/((s + 1) (s^2 + 4 s + 8))

Igualando e cancelando o denominador...

(10)/((s + 1) (s^2 + 4 s + 8)) = (A (s^2 + 4 s + 8) + (B s + C) (s + 1))/((s + 1) (s^2 + 4 s + 8)) ->

A (s^2 + 4 s + 8) + (B s + C) (s + 1) = 10

Então...

A s^2 + 4 A s + 8 A + B s^2 + B s + C s + C = 10 ->

(A + B) s^2 + (4 A + B + C) s + 8 A + C = 10 ->

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios...

A + B = 0

4 A + B + C = 0

8 A + C = 10

Resolvendo esse sisteminha...

A = - B -> 4 A + B + C = 0 -> - 3 B + C = 0 ->

C = 3 B

8 A + C = 10 -> - 8 B + 3 B = 10 ->

B = - 2 , A = 2 e C = - 6

Ou seja, por frações parciais concluímos que F_3 (s) é...

F_3 (s) = 2 (1)/(s + 1) + (- 2 s - 6)/(s^2 + 4 s + 8)

Passo 3

Poxa, mas essa fração com s^2 ainda está horrível, não está? Como s^2 + 4 s + 8 não tem raiz porque 4^2 é menor que 4 * 8 , podemos usar a ideia de completar quadrados então onde vamos transformar em:

s^2 + 4 s + 8 = (s + a)^2 + b^2 ->

s^2 + 4 s + 8 = s^2 + 2 a s + a^2 + b^2 ->

Então...

2 a = 4

E

a^2 + b^2 = 8

Onde tiramos que a = 2 e b = 2 . Então...

F_3 (s) = 2 (1)/(s + 1) + (- 2 s - 6)/(s^2 + 4 s + 8) ->

F_3 (s) = 2 (1)/(s + 1) + (- 2 s - 6)/((s + 2)^2 + 2^2) =

2 (1)/(s + 1) - 2 (s + 3)/((s + 2)^2 + 2^2)

Passo 4

Ta chegando a algo que a gente conhece, não é verdade? Mas assim se tem s + 2 , temos que colocar todos os s do mesmo jeito! A gente pode fazer isso separando o 3 em 2 e 1 :

F_3 (s) = 2 (1)/(s + 1) - 2 (s + 2 + 1)/((s + 2)^2 + 2^2)

E agora separando as frações...

F_3 (s) = 2 (1)/(s + 1) - 2 (s + 2)/((s + 2)^2 + 2^2) - (2)/((s + 2)^2 + 2^2)

Viu só! Apareceu o s + 2 lá em cima também! E por que isso é tão importante?

Passo 5

Porque agora precisamos buscar a inversa de todo mundo...

L^(- 1) {F_3 (s)} = 2 L^(- 1) {(1)/(s + 1)} - 2 L^(- 1) {(s + 2)/((s + 2)^2 + 2^2)} - L^(- 1) {(2)/((s + 2)^2 + 2^2)}

E a Laplace inversa de uma função F (s + c) é...

L^(- 1) {F (s + c)} = e^(- c t) L^(- 1) {F (s)}

Logo...

L^(- 1) {F_3 (s)} = 2 L^(- 1) {(1)/(s + 1)} - 2 e^(- 2 t) L^(- 1) {(s)/(s^2 + 2^2)} - e^(- 2 t) L^(- 1) {(1)/(s^2 + 2^2)}

Essas Laplaces inversas são todas conhecidas:

L^(- 1) {F_3 (s)} = 2 e^(- t) - 2 e^(- 2 t) cos (2 t) - e^(- 2 t) sin (2 t)

Resposta

L^(- 1) {F_3 (s)} = 2 e^(- t) - 2 e^(- 2 t) cos (2 t) - e^(- 2 t) sin (2 t)

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