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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 29

Determine a transformada de Laplace inversa de

V s = 2 s + 26 s s 2 + 4 s + 13

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função V a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

V s = 2 s + 26 s s 2 + 4 s + 13

No nosso caso, a primeira coisa a se fazer é aplicar separar em frações parciais (mas lembre-se de que quando temos um termo quadrático no denominador, em cima fica dele fica uma reta B s + D no caso):

V s = A s + B s + C s 2 + 4 s + 13

Passo 2

Então, colocando as duas frações em uma só, colocando o mesmo denominador...

A s + B s + D s 2 + 4 s + 13 = A s 2 + 4 s + 13 s s 2 + 4 s + 13 + B s + C s s s 2 + 4 s + 13 =

A s 2 + 4 s + 13 + B s + C s s s 2 + 4 s + 13

Igualando e cancelando o denominador...

2 s + 26 s s 2 + 4 s + 13 = A s 2 + 4 s + 13 + B s + C s s s 2 + 4 s + 13 →

A s 2 + 4 s + 13 + B s + C s = 2 s + 26

Então...

A s 2 + 4 A s + 13 A + B s 2 + C s = 2 s + 26 →

A + B s 2 + 4 A + C s + 13 A = 2 s + 26 →

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios visto que se não tem s 2 do lado esquerdo então será...

A + B = 0

4 A + C = 2

13 A = 26

Resolvendo esse sisteminha...

A = 2

B = - 2

C = 2 - 4 A = - 6

Ou seja, por frações parciais concluímos que V s é...

V s = 2 s + - 2 s - 6 s 2 + 4 s + 13

Passo 3

Poxa, mas essa fração com s 2 ainda está horrível, não está? Como s 2 + 4 s + 13 não tem raiz porque 4 2 é menor que 4 ⋅ 13 , podemos usar a ideia de completar quadrados então onde vamos transformar em:

s 2 + 4 s + 13 = s + a 2 + b 2   →

s 2 + 4 s + 13 = s 2 + 2 a s + a 2 + b 2   →

Então...

2 a = 4

E

a 2 + b 2 = 13

Onde tiramos que a = 2 e b = 3 . Então...

V s = 2 s + - 2 s - 6 s 2 + 4 s + 13 =

V s = 2 s + - 2 s - 6 s + 2 2 + 3 2

Passo 4

Ta chegando em algo que a gente conhece, não é verdade? Mas assim se tem s + 2 , temos que colocar todos os s do mesmo jeito! A gente pode fazer isso separando o - 6 em - 4 e - 2 :

V s = 2 s + - 2 s - 4 - 2 s + 2 2 + 3 2   →

E agora separando as frações...

V s = 2 s + - 2 s - 4 s + 2 2 + 3 2 - 2 s + 2 2 + 3 2   →

Olha que legal agora: colocando o - 2 em evidência...

V s = 2 s - 2 s + 2 s + 2 2 + 3 2 - 2 s + 2 2 + 3 2  

Viu só! Apareceu o s + 2 lá em cima também! E por que isso é tão importante?

Passo 5

Porque agora precisamos buscar a inversa de todo mundo...

L - 1 V s = 2 L - 1 1 s - 2 L - 1 s + 2 s + 2 2 + 3 2 - 2 L - 1 1 s + 2 2 + 3 2

E a Laplace inversa de uma função F s + c é...

L - 1 F s + c = e - c t L - 1 F s

Logo...

L - 1 V s = 2 L - 1 1 s - 2 e - 2 t L - 1 s 2 2 + 3 2 - 2 e - 2 t L - 1 1 s 2 + 3 2

Essas Laplaces inversas são todas conhecidas:

L - 1 V s = 2 ⋅ 1 - 2 e - 2 t cos ⁡ 3 t - 2 e - 2 t sin ⁡ 3 t

Resposta

L - 1 V s = 2 ⋅ 1 - 2 e - 2 t cos ⁡ 3 t - 2 e - 2 t sin ⁡ 3 t

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