Enunciado

Determine a transformada de Laplace inversa de

V (s) = (2 s + 26)/(s (s^2 + 4 s + 13))

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função V a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

V (s) = (2 s + 26)/(s (s^2 + 4 s + 13))

No nosso caso, a primeira coisa a se fazer é aplicar separar em frações parciais (mas lembre-se de que quando temos um termo quadrático no denominador, em cima fica dele fica uma reta B s + D no caso):

V (s) = (A)/(s) + (B s + C)/(s^2 + 4 s + 13)

Passo 2

Então, colocando as duas frações em uma só, colocando o mesmo denominador...

(A)/(s) + (B s + D)/(s^2 + 4 s + 13) = (A (s^2 + 4 s + 13))/(s (s^2 + 4 s + 13)) + ((B s + C) s)/(s (s^2 + 4 s + 13)) =

(A (s^2 + 4 s + 13) + (B s + C) s)/(s (s^2 + 4 s + 13))

Igualando e cancelando o denominador...

(2 s + 26)/(s (s^2 + 4 s + 13)) = (A (s^2 + 4 s + 13) + (B s + C) s)/(s (s^2 + 4 s + 13)) ->

A (s^2 + 4 s + 13) + (B s + C) s = 2 s + 26

Então...

A s^2 + 4 A s + 13 A + B s^2 + C s = 2 s + 26 ->

(A + B) s^2 + (4 A + C) s + 13 A = 2 s + 26 ->

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios visto que se não tem s^2 do lado esquerdo então será...

A + B = 0

4 A + C = 2

13 A = 26

Resolvendo esse sisteminha...

A = 2

B = - 2

C = 2 - 4 A = - 6

Ou seja, por frações parciais concluímos que V (s) é...

V (s) = (2)/(s) + (- 2 s - 6)/(s^2 + 4 s + 13)

Passo 3

Poxa, mas essa fração com s^2 ainda está horrível, não está? Como s^2 + 4 s + 13 não tem raiz porque 4^2 é menor que 4 * 13 , podemos usar a ideia de completar quadrados então onde vamos transformar em:

s^2 + 4 s + 13 = (s + a)^2 + b^2 ->

s^2 + 4 s + 13 = s^2 + 2 a s + a^2 + b^2 ->

Então...

2 a = 4

E

a^2 + b^2 = 13

Onde tiramos que a = 2 e b = 3 . Então...

V (s) = (2)/(s) + (- 2 s - 6)/(s^2 + 4 s + 13) =

V (s) = (2)/(s) + (- 2 s - 6)/((s + 2)^2 + 3^2)

Passo 4

Ta chegando em algo que a gente conhece, não é verdade? Mas assim se tem s + 2 , temos que colocar todos os s do mesmo jeito! A gente pode fazer isso separando o - 6 em - 4 e - 2 :

V (s) = (2)/(s) + (- 2 s - 4 - 2)/((s + 2)^2 + 3^2) ->

E agora separando as frações...

V (s) = (2)/(s) + (- 2 s - 4)/((s + 2)^2 + 3^2) - (2)/((s + 2)^2 + 3^2) ->

Olha que legal agora: colocando o - 2 em evidência...

V (s) = (2)/(s) - 2 (s + 2)/((s + 2)^2 + 3^2) - (2)/((s + 2)^2 + 3^2)

Viu só! Apareceu o s + 2 lá em cima também! E por que isso é tão importante?

Passo 5

Porque agora precisamos buscar a inversa de todo mundo...

L^(- 1) {V (s)} = 2 L^(- 1) {(1)/(s)} - 2 L^(- 1) {(s + 2)/((s + 2)^2 + 3^2)} - 2 L^(- 1) {(1)/((s + 2)^2 + 3^2)}

E a Laplace inversa de uma função F (s + c) é...

L^(- 1) {F (s + c)} = e^(- c t) L^(- 1) {F (s)}

Logo...

L^(- 1) {V (s)} = 2 L^(- 1) {(1)/(s)} - 2 e^(- 2 t) L^(- 1) {(s)/(2^2 + 3^2)} - 2 e^(- 2 t) L^(- 1) {(1)/(s^2 + 3^2)}

Essas Laplaces inversas são todas conhecidas:

L^(- 1) {V (s)} = 2 * 1 - 2 e^(- 2 t) cos (3 t) - 2 e^(- 2 t) sin (3 t)

Resposta

L^(- 1) {V (s)} = 2 * 1 - 2 e^(- 2 t) cos (3 t) - 2 e^(- 2 t) sin (3 t)

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