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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 30b

Determine a transformada de Laplace inversa de:

F 2 s = s 2 + 5 s + 6 s + 1 2 s + 4

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função F 2 a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

F 2 s = s 2 + 5 s + 6 s + 1 2 s + 4  

Podemos usar frações parciais para desmembrar essa fração aí em três frações (lembre-se) disso...

F 2 s = A s + 1 + B s + 1 2 + C s + 4

E duas que a gente consegue encontrar a Laplace inversa! Bora encontrar quem são A , B e C primeiro?

Passo 2

Então, colocando as três frações em uma só, colocando o mesmo denominador em todas elas...

A s + 1 + B s + 1 2 + C s + 4 = A s + 1 s + 4 s + 1 2 s + 4 + B s + 4 s + 1 2 s + 4 + C s + 1 2 s + 4 s + 1 2 =

A s + 1 s + 4 + B s + 4 + C s + 1 2 s + 1 2 s + 4  

Igualando e cancelando o denominador...

s 2 + 5 s + 6 s + 1 2 s + 4 = A s + 1 s + 4 + B s + 4 + C s + 1 2 s + 1 2 s + 4     →

A s + 1 s + 4 + B s + 4 + C s + 1 2 = s 2 + 5 s + 6

Resolvendo esses produtos aí...

A s 2 + 4 s + s + 4 + B s + 4 + C s 2 + 2 s + 1 = s 2 + 5 s + 6   →

A s 2 + 5 A s + 4 A + B s + 4 B + C s 2 + 2 C s + C = s 2 + 5 s + 6   →

Então organizando por s 2 ,   s e constante...

A + C s 2 + 5 A + B + 2 C s + 4 A + 4 B + C = s 2 + 5 s + 6   →

Onde podemos tirar da igualdade de polinômio...

A + C = 1

5 A + B + 2 C = 5  

4 A + 4 B + C = 6  

Resolvendo esse sisteminha substituindo A = 1 - C na segunda...

5 - 5 C + B + 2 C = 5       →             - 3 C + B = 0             →

B = 3 C

Substituindo tudo na terceira...

4 A + 4 B + C = 6         →         4 - 4 C + 12 C + C = 6         →

9 C = 2   →     C =   2 9

B = 3 C = 2 3

A = 1 - C = 7 9

Ou seja, por frações parciais concluímos que H s é...

F 2 s = s 2 + 5 s + 6 s + 1 2 s + 4 = 7 9 1 s + 1 + 2 3 1 s + 1 2 + 2 9 1 s + 4

Passo 3

Aplicando finalmente a transformada de Laplace inversa...

L - 1 F 2 s = 7 9 L 1 s + 1 + 2 3 L 1 s + 1 2 + 2 9 L 1 s + 4

Lembrando se de que:

L e - c t f t = F s + c

E também que L 1 = 1 / s e L t = 1 / s 2 . Então...

L e - c t = 1 s + c         e           L e - c t t = 1 s + c 2

Ou seja, no nosso caso...

L - 1 F 2 s = 7 9 L 1 s + 1 + 2 3 L 1 s + 1 2 + 2 9 L 1 s + 4

7 9 e - t + 2 3 e - t t + 2 9 e - 4 t  

Resposta

L - 1 F 2 s = 7 9 e - t + 2 3 e - t t + 2 9 e - 4 t

Ver Outros Exercícios desse livro