Determine a transformada de Laplace inversa de:

F_2 (s) = (s^2 + 5 s + 6)/((s + 1)^2 (s + 4))

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função F_2 a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

F_2 (s) = (s^2 + 5 s + 6)/((s + 1)^2 (s + 4))

Podemos usar frações parciais para desmembrar essa fração aí em três frações (lembre-se) disso...

F_2 (s) = (A)/((s + 1)) + (B)/((s + 1)^2) + (C)/((s + 4))

E duas que a gente consegue encontrar a Laplace inversa! Bora encontrar quem são A , B e C primeiro?

Passo 2

Então, colocando as três frações em uma só, colocando o mesmo denominador em todas elas...

(A)/((s + 1)) + (B)/((s + 1)^2) + (C)/((s + 4)) = (A (s + 1) (s + 4))/((s + 1)^2 (s + 4)) + (B (s + 4))/((s + 1)^2 (s + 4)) + (C (s + 1)^2)/((s + 4) (s + 1)^2) =

(A (s + 1) (s + 4) + B (s + 4) + C (s + 1)^2)/((s + 1)^2 (s + 4))

Igualando e cancelando o denominador...

(s^2 + 5 s + 6)/((s + 1)^2 (s + 4)) = (A (s + 1) (s + 4) + B (s + 4) + C (s + 1)^2)/((s + 1)^2 (s + 4)) ->

A (s + 1) (s + 4) + B (s + 4) + C (s + 1)^2 = s^2 + 5 s + 6

Resolvendo esses produtos aí...

A (s^2 + 4 s + s + 4) + B (s + 4) + C (s^2 + 2 s + 1) = s^2 + 5 s + 6 ->

A s^2 + 5 A s + 4 A + B s + 4 B + C s^2 + 2 C s + C = s^2 + 5 s + 6 ->

Então organizando por s^2 , s e constante...

(A + C) s^2 + (5 A + B + 2 C) s + (4 A + 4 B + C) = s^2 + 5 s + 6 ->

Onde podemos tirar da igualdade de polinômio...

A + C = 1

5 A + B + 2 C = 5

4 A + 4 B + C = 6

Resolvendo esse sisteminha substituindo A = 1 - C na segunda...

5 - 5 C + B + 2 C = 5 -> - 3 C + B = 0 ->

B = 3 C

Substituindo tudo na terceira...

4 A + 4 B + C = 6 -> 4 - 4 C + 12 C + C = 6 ->

9 C = 2 -> C = (2)/(9)

B = 3 C = (2)/(3)

A = 1 - C = (7)/(9)

Ou seja, por frações parciais concluímos que H (s) é...

F_2 (s) = (s^2 + 5 s + 6)/((s + 1)^2 (s + 4)) = (7)/(9) (1)/((s + 1)) + (2)/(3) (1)/((s + 1)^2) + (2)/(9) (1)/((s + 4))

Passo 3

Aplicando finalmente a transformada de Laplace inversa...

L^(- 1) {F_2 (s)} = (7)/(9) L {(1)/((s + 1))} + (2)/(3) L {(1)/((s + 1)^2)} + (2)/(9) L {(1)/(s + 4)}

Lembrando se de que:

L {e^(- c t) f (t)} = F (s + c)

E também que L {1} = 1 // s e L {t} = 1 // s^2 . Então...

L {e^(- c t)} = (1)/(s + c) e L {e^(- c t) t} = (1)/((s + c)^2)

Ou seja, no nosso caso...

L^(- 1) {F_2 (s)} = (7)/(9) L {(1)/((s + 1))} + (2)/(3) L {(1)/((s + 1)^2)} + (2)/(9) L {(1)/(s + 4)}

(7)/(9) e^(- t) + (2)/(3) e^(- t) t + (2)/(9) e^(- 4 t)

Resposta

L^(- 1) {F_2 (s)} = (7)/(9) e^(- t) + (2)/(3) e^(- t) t + (2)/(9) e^(- 4 t)

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