Obtenha v ( t ) para t > 0 no circuito da Figura 8.73.

Passo 1

Faala ae! Beleza? Bora resolver esse exercício.

Primeiro, vamos analisar o circuito em t = 0^- , ou seja, em um tempo beeemmmm pertinho de 0 , mas antes dele.

Só que, como podemos supor condições de estado estável, isso quer dizer que podemos considerar que o circuito ficou desse jeito por muito tempo e, então o capacitor funciona como um circuito aberto e o indutor como um curto:

E, daqui, vamos tirar a informação de v_c ( 0^- ) que deve ser igual a v_c ( 0^+ ) , pois a tensão no capacitor não pode variar instantaneamente. Repare que aquela resistência de 1 omega foi curto-circuitada, beleza? Dessa forma, a tensão no capacitor v_c (0^-) = v_c (0^+) = 0 V , pois é uma tensão num curto.

Já a corrente do indutor i_L (0^-) = i_L ( 0^+ ) vai ser a corrente no curto. Para achar ela, podemos só calcular a corrente no circuito todo:

V = R i

100 = 5 i_L (0^-)

:.

i_L (0^-) = 20 A

Beleza? Essas são nossas condições iniciais.

Passo 2

Agora, vamos analisar o circuito para t = 0^+ .

E vamos usar essa análise nodal:

i_L + i_R + i_C = 0

Substituindo as correntes em função das tensões:

(1)/(L) int_0^t V d t + (V)/(1) + C (d V)/(d t) = 0

Derivando isso em relação a t :

C V^(' ') + V^' + (1)/(L) V = 0

Agora, vamos arrumar e resolver essa EDO:

V^(' ') + (V^')/(C) + (1)/(L C) V = 0

A equação característica é:

r^2 + (r)/(C) + (1)/(L C) r = 0

Substituindo os valores de C e L :

r^2 + r + (1)/(0,25) r = 0

r^2 + r + 4 r = 0

Resolvendo por Bhaskara:

(- 1 +- sqrt(1 - 16))/(2)

Assim, temos as raízes:

- 0,5 + (sqrt(15))/(2) i = - 0,5 + 1,936 i

- 0,5 - (sqrt(15))/(2) i = - 0,5 - 1,936 i

O que nos leva a seguinte solução da EDO:

V (t) = e^(- 0,5 t) (c_1 cos (1,936 t) + c_2 sen (1,936 t))

Passo 3

Usando as condições iniciais, sabemos que a tensão no capacitor deve ser 0 em t = 0 . Como V ( t ) é a tensão no capacitor:

V (0) = 0

E:

V (0) = e^(- 0,5 ( 0 )) (c_1 cos (1,936 ( 0 )) + c_2 sen (1,936 ( 0 )))

Assim:

c_1 = 0

Já a outra condição é de que i_L (0) = 20 A . Da equação nodal, temos:

i_L + i_R + i_C = 0

E sabemos que i_C (t) = C (d V (t))/(d t) , então i_C (0) = C (d V (0))/(d t) . Vamos isolar i_C então:

i_C = - ( i_R + i_L )

C (d V (0))/(d t) = - (i_R ( 0 ) + i_L ( 0 ))

Lembra que o resistor de 1 omega era curto-circuitado em t = 0^- ? Então, i_R (0) = 0 , substituindo:

(d V (0))/(d t) = - (0 + 20)

:.

(d V (0))/(d t) = - 20

Agora, vamos derivar nosso V ( t ) e usar essa relação que achamos:

V^' (t) = (- 0,5) e^(- 0,5 t) (c_2 sen (1,936 t)) + e^(- 0,5 t) (1,936) (c_2 co s (1,936 t))

Então:

V^' (0) = - 20 = (- 0,5) e^(- 0,5 ( 0 )) (c_2 sen (1,936 ( 0 ))) + e^(- 0,5 ( 0 )) (1,936) (c_2 cos (1,936 ( 0 )))

Fazendo as contas:

- 20 = 1,936 c_2

:.

c_2 = - 10,331

Ufa! Nossa resposta completa será:

V (t) = - 10,331 e^(- 0,5 t) sen (1,936 t) V

Resposta

V (t) = - 10,331 e^(- 0,5 t) sen (1,936 t) V

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