Determine a transformada de Laplace Inversa de:

(8)/(s (s + 1)^3)

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

(8)/(s (s + 1)^3)

Podemos usar frações parciais para desmembrar essa fração aí em três frações (lembre-se) disso...

(A)/(s) + (B)/((s + 1)) + (C)/((s + 1)^2) + (D)/((s + 1)^3)

E duas que a gente consegue encontrar a Laplace inversa! Bora encontrar quem são A e B primeiro?

Passo 2

Então, colocando as três frações em uma só, colocando o mesmo denominador em todas elas...

(A)/(s) + (B)/((s + 1)) + (C)/((s + 1)^2) + (D)/((s + 1)^3) =

(A (s + 1)^3 + B s (s + 1)^2 + C s (s + 1)^() + D s)/(s (s + 1)^3)

Igualando e cancelando o denominador...

(8)/(s (s + 1)^3) = (A (s + 1)^3 + B s (s + 1)^2 + C s (s + 1)^() + D s)/(s (s + 1)^3) ->

A (s + 1)^3 + B s (s + 1)^2 + C s (s + 1)^() + D s = 8

Resolvendo esses produtos aí...

A (s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1) + B s (s^2 + 2 s + 1) + C s (s + 1) + D s = 8 ->

A s^3 + 3 A s^2 + 3 A s + A + B s^3 + 2 B s^2 + B s + C s^2 + C s + D s = 8

Então organizando por s^3 , s^2 , s e constante...

(A + B) s^3 + (3 A + 2 B + C) s^2 + (3 A + B + C + D) s + (A) = 8 ->

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios visto que se não tem s^3 do lado esquerdo...

A + B = 0

3 A + 2 B + C = 0

3 A + B + C + D = 0

A = 8

Resolvendo esse sisteminha...

B = - A = - 8

Então...

24 - 16 + C = 0 -> C = - 8

E

24 - 8 - 8 + D = 0 -> D = - 8

Ou seja, por frações parciais concluímos que...

(8)/(s (s + 1)^3) = (8)/(s) + (- 8)/((s + 1)) + (- 8)/((s + 1)^2) + (- 8)/((s + 1)^3)

Passo 3

Aplicando finalmente a transformada de Laplace inversa...

L^(- 1) {(8)/(s (s + 1)^3)} = 8 L^(- 1) {(1)/(s)} - 8 L^(- 1) {(1)/(s + 1)} - 8 L^(- 1) {(1)/((s + 1)^2)} - 8 L^(- 1) {(1)/((s + 1)^3)}

Lembrando se de que:

L {e^(- c t) f (t)} = F (s + c)

E também que L {1} = 1 // s , L {t} = 1 // s^2 e L {t^2} = 2 // s^3 . Então...

L {e^(- c t)} = (1)/(s + c) e L {e^(- c t) t} = (1)/((s + c)^2) e L {e^(- c t) t^2} = (2)/((s + c)^3)

Ou seja, no nosso caso...

L^(- 1) {(8)/(s (s + 1)^3)} = 8 L^(- 1) {(1)/(s)} - 8 L^(- 1) {(1)/(s + 1)} - 8 L^(- 1) {(1)/((s + 1)^2)} - 8 L^(- 1) {(1)/((s + 1)^3)} =

8 - 8 e^(- t) - 8 e^(- t) t - 8 (e^(- t) t^2)/(2)

Resposta

8 - 8 e^(- t) - 8 e^(- t) t - 4 e^(- t) t^2

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