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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 33c

Determine a transformada de Laplace Inversa de:

8 s s + 1 3

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

8 s s + 1 3  

Podemos usar frações parciais para desmembrar essa fração aí em três frações (lembre-se) disso...

A s + B s + 1 + C s + 1 2 + D s + 1 3  

E duas que a gente consegue encontrar a Laplace inversa! Bora encontrar quem são A e B primeiro?

Passo 2

Então, colocando as três frações em uma só, colocando o mesmo denominador em todas elas...

A s + B s + 1 + C s + 1 2 + D s + 1 3 =

A s + 1 3 + B s s + 1 2 + C s s + 1   + D s s s + 1 3  

Igualando e cancelando o denominador...

8 s s + 1 3 = A s + 1 3 + B s s + 1 2 + C s s + 1   + D s s s + 1 3     →

A s + 1 3 + B s s + 1 2 + C s s + 1   + D s = 8

Resolvendo esses produtos aí...

A s 3 + 3 s 2 + 3 s + 1 + B s s 2 + 2 s + 1 + C s s + 1 + D s = 8 →

A s 3 + 3 A s 2 + 3 A s + A + B s 3 + 2 B s 2 + B s + C s 2 + C s + D s = 8

Então organizando por s 3 , s 2 ,   s e constante...

A + B s 3 + 3 A + 2 B + C s 2 + 3 A + B + C + D s + A = 8   →

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios visto que se não tem s 3 do lado esquerdo...

A + B = 0

3 A + 2 B + C = 0

3 A + B + C + D = 0  

A = 8

Resolvendo esse sisteminha...

B = - A = - 8

Então...

24 - 16 + C = 0     →           C = - 8

E

24 - 8 - 8 + D = 0         →             D = - 8  

Ou seja, por frações parciais concluímos que...

8 s s + 1 3 = 8 s + - 8 s + 1 + - 8 s + 1 2 + - 8 s + 1 3

Passo 3

Aplicando finalmente a transformada de Laplace inversa...

L - 1 8 s s + 1 3 = 8 L - 1 1 s - 8 L - 1 1 s + 1 - 8 L - 1 1 s + 1 2 - 8 L - 1 1 s + 1 3

Lembrando se de que:

L e - c t f t = F s + c

E também que L 1 = 1 / s , L t = 1 / s 2 e L t 2 = 2 / s 3 . Então...

L e - c t = 1 s + c         e           L e - c t t = 1 s + c 2           e             L e - c t t 2 = 2 s + c 3

Ou seja, no nosso caso...

L - 1 8 s s + 1 3 = 8 L - 1 1 s - 8 L - 1 1 s + 1 - 8 L - 1 1 s + 1 2 - 8 L - 1 1 s + 1 3 =

8 - 8 e - t - 8 e - t t - 8 e - t t 2 2    

Resposta

8 - 8 e - t - 8 e - t t - 4 e - t t 2    

Ver Outros Exercícios desse livro