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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 36c

Z s = 5 s s + 1 s 2 + 6 s + 10

Obtenha as transformadas de Laplace das funções a seguir:

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

5 s s + 1 s 2 + 6 s + 10  

No nosso caso, a primeira coisa a se fazer é aplicar separar em frações parciais (mas lembre-se de que quando temos um termo quadrático no denominador, em cima fica dele fica uma reta B s + D no caso):

A s + B s + 1 + C s + D s 2 + 6 s + 10  

Passo 2

Então, colocando as duas frações em uma só, colocando o mesmo denominador...

A s + B s + 1 + C s + D s 2 + 6 s + 10 =

A s + 1 s 2 + 6 s + 10 + B s s 2 + 6 s + 10 + C s + D s s + 1 s s + 1 s 2 + 6 s + 10  

Igualando e cancelando o denominador...

5 s s + 1 s 2 + 6 s + 10 = A s + 1 s 2 + 6 s + 10 + B s s 2 + 6 s + 10 + C s + D s s + 1 s s + 1 s 2 + 6 s + 10 →

A s + 1 s 2 + 6 s + 10 + B s s 2 + 6 s + 10 + C s + D s s + 1 = 5

Então...

A s + 1 s 2 + 6 s + 10 + B s s 2 + 6 s + 10 + C s + D s s + 1 = 5   →

A s 3 + 6 s 2 + 10 s + s 2 + 6 s + 10 + B s 3 + 6 B s 2 + 10 B s + C s 3 + C s 2 + D s 2 + D s = 5   →

A s 3 + 7 A s 2 + 16 A s + 10 A + B s 3 + 6 B s 2 + 10 B s + C s 3 + C s 2 + D s 2 + D s = 5   →

A + B + C s 3 + 7 A + 6 B + C + D s 2 + 16 A + 10 B + D s + 10 A = 5

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios...

10 A = 5

A + B + C = 0

16 A + 10 B + D = 0

7 A + 6 B + C + D = 0

Resolvendo esse sisteminha...

A = 1 2

C = - B - 1 2

8 + 10 B + D = 0         →                 D = - 8 - 10 B

7 A + 6 B + C + D = 0         →         7 2 + 6 B - B - 1 2 - 8 - 10 B = 0   →

B = - 1

Então...

C = 1 2               e           D = 2

Ou seja, por frações parciais concluímos que...

5 s s + 1 s 2 + 6 s + 10 = 1 2 ⋅ 1 s - 1 s + 1 + 1 2 s + 2 s 2 + 6 s + 10  

Passo 3

Poxa, mas essa fração com s 2 ainda está horrível, não está? Como s 2 + 6 s + 10 não tem raiz porque 6 2 é menor que 4 ⋅ 10 , podemos usar a ideia de completar quadrados então onde vamos transformar em:

s 2 + 6 s + 10 = s + a 2 + b 2   →

s 2 + 6 s + 10 = s 2 + 2 a s + a 2 + b 2   →

Então...

2 a = 6

E

a 2 + b 2 = 10

Onde tiramos que a = 3 e b = 1 . Então...

1 2 ⋅ 1 s - 1 s + 1 + 1 2 s + 2 s 2 + 6 s + 10   →

1 2 ⋅ 1 s - 1 s + 1 + 1 2 s + 2 s + a 2 + b 2 =

1 2 ⋅ 1 s - 1 s + 1 + 1 2 ⋅ s + 4 s + 3 2 + 1 2  

Passo 4

Ta chegando a algo que a gente conhece, não é verdade? Mas assim se tem s + 3 , temos que colocar todos os s do mesmo jeito! A gente pode fazer isso separando o 4 em 3 e 1 :

1 2 ⋅ 1 s - 1 s + 1 + 1 2 ⋅ s + 3 + 1 s + 3 2 + 1 2

E agora separando as frações...

1 2 ⋅ 1 s - 1 s + 1 + 1 2 ⋅ s + 3 s + 3 2 + 1 2 + 1 2 ⋅ 1 s + 3 2 + 1 2

Viu só! Apareceu o s + 3 lá em cima também! E por que isso é tão importante?

Passo 5

Porque agora precisamos buscar a inversa de todo mundo...

1 2 L - 1 1 s - L - 1 1 s + 1 + 1 2 L - 1 s + 3 s + 3 2 + 1 2 + 1 2 L - 1 1 s + 3 2 + 1 2

E a Laplace inversa de uma função F s + c é...

L - 1 F s + c = e - c t L - 1 F s

Logo...

1 2 L - 1 1 s - L - 1 1 s + 1 + 1 2 e - 3 t L - 1 s s 2 + 1 + 1 2 e - 3 t L - 1 1 s 2 + 1

Essas Laplaces inversas são todas conhecidas:

1 2 - e - t + 1 2 e - 3 t cos ⁡ t + 1 2 e - 3 t sin ⁡ t

Resposta

1 2 - e - t + 1 2 e - 3 t cos ⁡ t + 1 2 e - 3 t sin ⁡ t

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