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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 32a

Determine a transformada de Laplace inversa de cada uma das seguintes funções:

8 s + 1 s + 3 s s + 2 s + 4  

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

8 s + 1 s + 3 s s + 2 s + 4  

Podemos usar frações parciais para desmembrar essa fração aí em três frações (lembre-se) disso...

A s + B s + 2 + C s + 4  

E duas que a gente consegue encontrar a Laplace inversa! Bora encontrar quem são A , B e C primeiro?

Passo 2

Então, colocando as três frações em uma só, colocando o mesmo denominador em todas elas...

A s + B s + 2 + C s + 4 =

A s + 2 s + 4 + B s s + 4 + C s s + 2 s s + 2 s + 4  

Igualando e cancelando o denominador...

8 s + 1 s + 3 s s + 2 s + 4 = A s + 2 s + 4 + B s s + 4 + C s s + 2 s s + 2 s + 4     →

A s + 2 s + 4 + B s s + 4 + C s s + 2 = 8 s + 1 s + 3

Resolvendo esses produtos aí...

A s 2 + 4 s + 2 s + 8 + B s 2 + 4 B s + C s 2 + 2 C s = 8 s 2 + 3 s + s + 3   →

A s 2 + 6 A s + 8 A + B s 2 + 4 B s + C s 2 + 2 C s = 8 s 2 + 32 s + 24   →

Então organizando por s 2 ,   s e constante...

A + B + C s 2 + 6 A + 4 B + 2 C s + 8 A = 8 s 2 + 32 s + 24 →

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios...

A + B + C = 8

6 A + 4 B + 2 C = 32

8 A = 24

Resolvendo esse sisteminha...

A = 3

B + C = 5       →           B = 5 - C

6 A + 4 B + 2 C = 32                         →                 20 - 4 C + 2 C = 14     →

- 2 C = - 6       →         C = 3

Logo

B = 2

Ou seja, por frações parciais concluímos que...

8 s + 1 s + 3 s s + 2 s + 4 = 3 1 s + 2 1 s + 2 + 3 1 s + 4

Passo 3

Aplicando finalmente a transformada de Laplace inversa...

3 L - 1 1 s + 2 L - 1 1 s + 2 + 3 L - 1 1 s + 4  

Lembrando se de que:

L e - c t f t = F s + c

E também que L 1 = 1 / s , Então...

L e - c t = 1 s + c  

Ou seja, no nosso caso...

3 L - 1 1 s + 2 L - 1 1 s + 2 + 3 L - 1 1 s + 4 =

3 + 2 e - 2 t t + 3 e - 4 t    

Resposta

3 + 2 e - 2 t t + 3 e - 4 t    

Ver Outros Exercícios desse livro