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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 13c

Determine a transformada de Laplace das seguintes funções:

sin ⁡ β t t u t  

Passo 1

Bem, tendo em mente que u t não altera nada, então você pode tranquilamente tira-lo da função...

L sin ⁡ β t t u t = L sin ⁡ β t t

Poxa, com o t na divisão, vamos ter que usar essa propriedade aqui:

L f t t = ∫ s ∞ F s d s

Então, se f t = sin ⁡ β t , então...

F s = L f t = β s 2 + β 2

Agora bora calcular aquela integral?

Passo 2

∫ s ∞ F s d s = β ∫ s ∞ 1 s 2 + β 2 d s

Lembre-se que...

∫     1 x 2 + 1 d x = arctan ⁡ x + C

Então, vamos tentar chegar a uma integral parecida. Colocando esse β 2 em “evidência”...

β ∫     1 β 2 s 2 β 2 + 1 d s = β β 2 ∫     1 s 2 β 2 + 1 d s =

1 β ∫     1 s β 2 + 1 d s

Considerando a mudança

s β = x         →           d x = d s β

Então...

1 β ∫     1 s β 2 + 1 d s = ∫     1 s β 2 + 1 d s β =

∫     1 x 2 + 1 d x = arctan ⁡ x + C

Trocando novamente o x por s / β ...

∫ s ∞ F s d s = arctan ⁡ s β s ∞ =

lim s → ∞ ⁡ arctan ⁡ s β - arctan ⁡ s β =

Como o arco tangente de valores próximos ao infinito é 90 ° , ou...

π 2 - arctan ⁡ s β

Resposta

π 2 - arctan ⁡ s β

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