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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 10

De duas formas diferentes, determine a transformada de Laplace de

g t = d d t t e - t cos ⁡ t

Passo 1

Bem, como essa função é derivável, uma das formas de se resolver esse problema aqui é derivando mesmo essa função aí aplicando a regra do produto:

g t = d d t t e - t cos ⁡ t = d d t t ⋅ e - t cos ⁡ t =

t ' e - t cos ⁡ t + t e - t cos ⁡ t ' =

e - t cos ⁡ t + t e - t cos ⁡ t ' =

Derivando novamente pela regra do produto esse amiguinho entre colchetes aí...

e - t cos ⁡ t + t e - t ' cos ⁡ t + e - t cos ⁡ t ' =

e - t cos ⁡ t + t - e - t cos ⁡ t + e - t - sin ⁡ t =

e - t cos ⁡ t - t e - t cos ⁡ t - t e - t sin ⁡ t  

Agora, basta aplicar a transformada de Laplace em todo mundo...

L g t = L e - t cos ⁡ t - t e - t cos ⁡ t - t e - t sin ⁡ t =

L e - t cos ⁡ t - L t e - t cos ⁡ t - L t e - t sin ⁡ t

Lembrando-se de que a transformada de função envolvendo o produto por t é...

L t f t = - d d t f t

Então...

L e - t cos ⁡ t - - d d t L e - t cos ⁡ t - - d d t L e - t sin ⁡ t

Ora, essas Laplaces aí são as Laplaces do seno e o cosseno normal...

L cos ⁡ t = s s 2 + 1               e                 L sin ⁡ t = 1 s 2 + 1

Só que por causa da exponencial de - 1 t a gente troca todo s por s + 1 . Assim:

L g t = L e - t cos ⁡ t - - d d t L e - t cos ⁡ t - - d d t L e - t sin ⁡ t     →

L g t = s + 1 s + 1 2 + 1 - - d d t s + 1 s + 1 2 + 1 - - d d t 1 s + 1 2 + 1     →

Calculando essas derivadas pela regra da fração...

L g t = s + 1 s + 1 2 + 1 + s + 1 ' s + 1 2 + 1 - s + 1 s + 1 2 + 1 ' s + 1 2 + 1 2 + 1 ' s + 1 2 + 1 - 1 s + 1 2 + 1 ' s + 1 2 + 1 2     →

Calculando essas derivadas...

L g t = s + 1 s + 1 2 + 1 + s + 1 2 + 1 - s + 1 2 s + 1 s + 1 2 + 1 2 + - 2 s + 1 s + 1 2 + 1 2     →

E simplificando...

L g t = s + 1 s + 1 2 + 1 + s + 1 2 + 1 - 2 s + 1 2 s + 1 2 + 1 2 + - 2 s + 1 s + 1 2 + 1 2     →

L g t = s + 1 s + 1 2 + 1 + 1 - s + 1 2 s + 1 2 + 1 2 - 2 s + 2 s + 1 2 + 1 2     →

Colocando todo mundo em uma mesma fração...

L g t = s + 1 s 2 + 2 s + 2 + 1 - s 2 + 2 s - 1 s 2 + 2 s + 2 2 - 2 s + 2 s + 1 2 + 1 2     →

Para colocar todos sobre o mesmo denominador, multipliquemos em cima e em baixo na primeira por s 2 + 2 s + 2 :

L g t = s + 1 s 2 + 2 s + 2 s 2 + 2 s + 2 2 - s 2 + 2 s s 2 + 2 s + 2 2 - 2 s + 2 s + 1 2 + 1 2     →

L g t = s + 1 s 2 + 2 s + 2 - s 2 - 2 s - 2 s - 2 s 2 + 2 s + 2 2 →

L g t = s 3 + 2 s 2 + s 2 + 2 s + 2 + 2 s - s 2 - 2 s - 2 s - 2 s 2 + 2 s + 2 2 →

L g t = s 3 + 2 s 2 s 2 + 2 s + 2 2 →

Por fim, colocando s 2 em evidência...

L g t = s 2 s + 2 s 2 + 2 s + 2 2

Passo 2

Agora, que tal resolvermos usando a regra de Laplace para derivadas?

L d n d t n f t = s n L f t - s n - 1 f 0 - s n - 2 f ' 0 - … - f n - 1 0

Então se a nossa g t é a primeira derivada, o n = 1 ...

g t = d d t t e - t cos ⁡ t   →

Considerando f t = t e - t cos ⁡ t , veja que f 0 = 0 ...

L g t = L d d t t e - t cos ⁡ t = s L t e - t cos ⁡ t - 0 =

s L t e - t cos ⁡ t

Ora, se tem t multiplicando, então isso se transforma em uma derivada...

L g t =   s L t e - t cos ⁡ t = s - d d t L e - t cos ⁡ t

Já vimos quem é essa transformada...

L g t =   s L t e - t cos ⁡ t = s - d d t s + 1 s + 1 2 + 1

E já até calculamos essa derivada...

L g t =   s L t e - t cos ⁡ t = s - 1 - s + 1 2 s + 1 2 + 1 2   →

L g t = s - 1 - s 2 - 2 s - 1 s + 1 2 + 1 2   →

L g t = s 3 + 2 s 2 s + 1 2 + 1 2   →

L g t = s 2 s + 2 s + 1 2 + 1 2

Prontinho! De uma forma bem mais rápida chegamos ao mesmo resultado!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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