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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 13

Elabore um problema para ajudar outros estudantes a entender melhor como obter a série de Fourier de uma função periódica.

Passo 1

Vamos resolver a seguinte questão, galera:

“Uma função periódica é definida por

h t = 10 s e n t ,     0 < t < π 20 s e n t - π ,     π < t < 2 π

Encontre a série de Fourier de h ( t ) ”.

Bora encontrar essa série! Bom, o período da função é T = 2 π e a frequência é igual a ω 0 = 2 π T = 1   r a d / s . O primeiro termo da série, a 0 , é dado por:

a 0 = 1 T ∫ 0 T h t d t

a 0 = 1 2 π ∫ 0 π 10 s e n t d t + ∫ π 2 π 20 s e n t - π d t

a 0 = 10 2 π - cos ⁡ t 0 π - 2 cos ⁡ t - π π 2 π

a 0 = 5 π - cos ⁡ π + cos ⁡ 0 - 2 cos ⁡ π + 2 cos ⁡ 0

a 0 = 30 π

Passo 2

Vamos calcular o termo a n agora:

a n = 2 T ∫ 0 T h t cos ⁡ n ω 0 t d t

a n = 2 2 π ∫ 0 π 10 s e n t cos ⁡ n t d t + ∫ π 2 π 20 s e n t - π cos ⁡ n t d t

a n = 10 π ∫ 0 π s e n t cos ⁡ n t d t - ∫ π 2 π 2 s e n t cos ⁡ n t d t

a n = 5 π ∫ 0 π sen ⁡ 1 + n t d t + sen ⁡ 1 - n t d t - ∫ π 2 π 2 sen ⁡ 1 + n t d t + sen ⁡ 1 - n t d t

a n = 5 π - c o s 1 + n t 1 + n + c o s 1 - n t 1 - n 0 π - 2 cos ⁡ 1 + n t 1 + n + 2 cos ⁡ 1 - n t 1 - n π 2 π

a n = 5 π 3 1 + n + 3 1 - n - 3 cos ⁡ 1 + n π 1 + n - 3 cos ⁡ 1 - n π 1 - n

a n = 5 π 6 1 - n 2 - 6 cos ⁡ 1 + n π + 6 cos ⁡ 1 - n π 1 - n 2

a n = 5 π 6 1 - n 2 - 6 cos ⁡ n π cos ⁡ π 1 - n 2

a n = 5 π 6 + 6 cos ⁡ n π 1 - n 2

Como cos ⁡ n π = - 1 n ,

a n = 30 1 + - 1 n π 1 - n 2

Passo 3

Agora, vamos calcular o termo b n agora:

b n = 2 T ∫ 0 T h t s e n n ω 0 t d t

b n = 2 2 π ∫ 0 π 10 s e n t s e n n t d t + ∫ π 2 π 20 s e n t - π s e n n t d t

b n = 10 π ∫ 0 π s e n t s e n n t d t - ∫ π 2 π 2 s e n t s e n n t d t

b n = 5 π [ ∫ 0 π cos ⁡ 1 - n t d t - cos ⁡ 1 + n t d t - ∫ π 2 π 2 cos ⁡ 1 - n t d t - cos ⁡ 1 + n t d t

b n = 5 π s e n 1 - n t 1 - n - s e n 1 + n t 1 + n 0 π - 2 s e n 1 - n t 1 - n = 2 s e n 1 + n t 1 + n π 2 π

Da trigonometria, nós sabemos que

s e n 1 + n π = s e n π cos ⁡ ( n π ) + cos ⁡ π s e n n π = 0

s e n 1 + n 2 π = s e n 2 π cos ⁡ ( 2 n π ) + cos ⁡ 2 π s e n 2 n π = 0

Logo,

b n = 5 π s e n 1 - n t 1 - n 0 π - 2 s e n 1 - n t 1 - n π 2 π

b n = 5 π s e n 1 - n π 1 - n - s e n 1 - n 0 1 - n - 2 s e n 1 - n 2 π 1 - n - 2 s e n 1 - n π 1 - n

b n = 5 π 3 s e n 1 - n π 1 - n - 2 s e n 1 - n 2 π 1 - n

Para n = 1 ,

b n = 5 π lim n → 1 ⁡ 3 s e n 1 - n π 1 - n π × π - lim n → 1 ⁡ 2 s e n 1 - n 2 π 1 - n 2 π × 2 π

b n = 5 π 3 π - 4 π

b n = - 5

Nós temos as seguintes relações trigonométricas:

s e n 1 - n π = s e n π cos ⁡ ( n π ) - cos ⁡ π s e n n π = 0

s e n 1 - n 2 π = s e n 2 π cos ⁡ ( 2 n π ) - cos ⁡ 2 π s e n 2 n π = 0

Tendo essas informações em mãos, vamos ver como fica b n para n > 1 :

b n = 0

Passo 4

Pegando os coeficientes a 0 ,   a n e b n , podemos escrever nossa série de Fourier:

h t = 30 π - 5 s e n t + 30 π ∑ n = 1 ∞ 1 + - 1 n 1 - n 2 c o s ⁡ ( n t )

Resposta

A série é igual a:

h t = 30 π - 5 s e n t + 30 π ∑ n = 1 ∞ 1 + - 1 n 1 - n 2 c o s ⁡ ( n t )

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