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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 54

Elabore um problema para ajudar outros estudantes a entender melhor a solução de equações diferenciais de segunda ordem com uma entrada que varia no tempo.

Passo 1

Podemos fazer um problema onde a entrada é uma corrente i ( t ) , assim:

Usando a transformada de Laplace, determine i ( t ) para t > 0 , se

d 2 i d t ² + 4 d i d t + 3 i ( t ) = 0

i 0 = 0 , i ' 0 = 4

Primeiro vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo da equação:

s 2 I s - s i 0 - i ' 0 + 4 s I s - i 0 + 3 I s = 0

Passo 2

Agora vamos substituir i ( 0 ) e i ' ( 0 ) pelos valores dados:

s 2 I s - s . 0 - 4 + 4 s I s - 0 + 3 I s = 0

s 2 I s + 4 s I s + 3 I s - 4 = 0

Passando - 4 pro outro lado e colocando I ( s ) em evidência:

I s . s 2 + 4 s + 3 = 4

Nosso próximo passo é isolar I ( s ) , pois assim teremos a expressão de I ( s ) e encontrando a sua transformada inversa, encontraremos i t , solução da equação diferencial :)

I s = 4 s 2 + 4 s + 3

Como s 2 + 4 s + 3 tem raízes - 1 e - 3

I s = 4 ( s + 1 ) ( s + 3 )

Passo 3

Opa, agora para encontrarmos a transformada inversa, vamos começar fazendo frações parciais:

4 ( s + 2 ) ( s + 2 ) = A s + 1 + B s + 3

Fazendo aquele processinho de frações parciais dos exercícios da seção anterior, encontramos

A = 2

B = - 2

Então:

16 ( s + 2 ) ( s + 2 ) = 2 s + 1 - 2 s + 3

Passo 4

Agora é só encontrarmos a transformada inversa com base nos modelos que já temos, assim:

I t = ( 2 e - t - 2 e - 3 t ) u ( t )

Como t > 0 , acrescentamos o degrau u ( t )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro