Enunciado

Na função periódica da Figura 17.62 ,

  1. Determine os coeficientes a 2 e b 2 da série de Fourier trigonométrica.
  2. Calcule a magnitude e a fase da componente de f ( t ) que possui ω n = 10   r a d / s
  3. Use os quatro primeiros termos não nulos para estimar f π 2
  4. Demonstre que

π 4 = 1 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + 1 9 - 1 11 + …

Passo 1

Vamos para a letra (a), galera! Notem que a função f ( t ) é uma função ímpar e isso pode ser provado, por exemplo, por t = - π e t = π :

f - t = - f t

f - π = - 2 = - f ( π )

Da descrição do problema, temos:

a 0 = 0

T = 2 π → ω 0 = 2 π T = 2 π 2 π = 1   r a d / s

Nós sabemos que os coeficientes para uma função ímpar, temos:

a n = 0

b n = 4 T ∫ 0 T / 2 f t s e n n ω 0 t d t

A função f ( t ) no intervalo [ 0 , π ] pode ser definida usando a equação da reta entre dois pontos: T 1 0,1 ,   T 2 ( π , 2 ) :

f t - f t 1 = f t 2 - f t 1 t 2 - t 1 ( t - t 1 )

f t - 1 = 2 - 1 π - 0 t - 0

f t = 1 + t π

Passo 2

Nós podemos determinar b n agora:

b n = 4 2 π ∫ 0 π 1 + t π s e n n ω 0 t d t

b n = 4 2 π 1 π ∫ 0 π t s e n n ω 0 t d t + ∫ 0 π s e n n t d t

A primeira integral pode ser resolvida:

∫ t s e n a t d t = 1 a 2 s e n a t - t a cos ⁡ a t

Portanto,

b n = 4 2 π 1 π 1 n 2 s e n n t - t n cos ⁡ n t 0 π - 1 n cos ⁡ n t 0 π

b n = 4 2 π 1 π 1 n 2 s e n n π - π n cos ⁡ n π - 1 n 2 s e n 0 - 0 n cos ⁡ 0 - 1 n cos ⁡ π n - cos ⁡ 0

b n = 4 2 π - 1 n cos ⁡ π n - 1 n cos ⁡ n π - 1

b n = 4 2 π 1 n - 2 n - 1 n

b n = 2 n π 1 - 2 - 1 n

Para n = 2 , temos:

b 2 = 2 2 π 1 - 2 - 1 2 = - 1 π

Passo 3

Vamos para a letra (b). Como nós sabemos, ω n = n ω 0 . Para n = 10 , temos:

ω 10 = 10 × 1 r a d s = 10   r a d / s

Agora, podemos determinar os coeficientes!

a 10 = 0

b 10 = 2 10 π 1 - 2 - 1 10 = - 1 5 π

A magnitude é igual a:

f t = a 10 2 + b 10 2 = 0 + - 1 5 π 2 = 1 5 π

A fase é igual a:

ϕ = arctan ⁡ b n a n = arctan ⁡ - 1 π 0 = - 90 °

Passo 4

Na letra (c), queremos estimar o f π 2 a partir dos quatro primeiros termos não nulos. Assim,

f π 2 = ∑ n = 1 ∞ 2 n π 1 - 2 - 1 n s e n π 2 n

Portanto, temos:

P a r a   n = 1 : f 1 = 2 1 π [ 1 - 2 - 1 1 ) ] s e n ⁡ ( π 2 ⋅ 1 ) = 6 / π

P a r a   n = 2 : f 2 = 2 2 π 1 - 2 - 1 2 s e n π 2 ⋅ 2 = 0

P a r a   n = 3 : f 3 = 2 3 π 1 - 2 - 1 3 s e n π 2 ⋅ 3 = - 6 3 π

P a r a   n = 4 : f 4 = 2 4 π 1 - 2 - 1 4 s e n π 2 ⋅ 4 = 0

P a r a   n = 5 : f 5 = 2 5 π 1 - 2 - 1 5 s e n π 2 ⋅ 5 = 6 5 π

P a r a   n = 6 : f 6 = 2 6 π 1 - 2 - 1 6 s e n π 2 ⋅ 6 = 0

P a r a   n = 7 : f 7 = 2 7 π 1 - 2 - 1 7 s e n π 2 ⋅ 7 = - 6 7 π

Finalmente, temos:

f π 2 = 6 π - 6 3 π + 6 5 π - 6 7 π ≈ 1,3824

Passo 5

Por fim, a letra (d). Podemos aproximar a f π 2 por

f π 2 = 3 2

Assim,

3 2 ≈ 6 π 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7

3 2 ⋅ π 6 ≈ 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7

π 4 ≈ 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7

Resposta

  1. a 2 = 0 ; b 2 = - 1 / π
  2. f t = 1 5 π ; ϕ = - 90 °
  3. f π 2 ≈ 1,3824
  4. π 4 ≈ 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7
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