Enunciado

Qual das funções a seguir não possui uma transformada de Fourier?

(a) e t u (   - t )

(b) t e - 3 t u ( t )

(c) 1   / t  

(d) | t | u ( t )

Passo 1

A integral que define a transformada de Fourier nem sempre converge, nesse caso, dizemos que a função não possui transformada de Fourier. Casos clássicos são: f t = e t 2   e   f t = 1 / t .

Então nessa questão a resposta correta é a letra C.

Passo 2

A definição da transformada de Fourier:

∫ - ∞   ∞ f t e - j ω t d t

Pela letra c:

f ( t ) = 1 t

Vamos chamar:

s   = j ω

Fica então:

∫ - ∞   ∞ 1 t e - s t d t

Por substituição de variável:

u = s t

d u = s d t

Reescrevendo:

∫ - ∞   ∞ s u ⋅ e - u ⋅ d u s  

∫ - ∞   ∞ 1 u ⋅ e - u d u

Estudando essas integrais, chegaremos a limites que diverge.

Isso faz ela não ter transformada de Fourier.

Resposta

Letra c

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