Enunciado

Obtenha a transforma de Fourier o sinal indicado na Figura 18.30 .

Passo 1

Galerinha, podemos expressar essa função da seguinte maneira:

f t = 1 + t ,     - 1 < t < 0 t - 1 ,           0 < t < 1

A primeira derivada é dada por:

f ' t = 1 ,     - 1 < t < 0 - 2 δ t ,     t = 0 1 ,                       0 < t < 1

E a segunda derivada é:

f ' ' t = δ t + 1   - 2 δ t - δ t - 1

Aplicando a transformada de Fourier dos dois lados usando a propriedade da derivada:

j ω 2 F ω = e j ω - 2 j ω - e - j ω

F ω = e j ω - 2 j ω - e - j ω j ω 2

F ω = - 2 j ω + e j ω - e - j ω - ω 2

Passo 2

Vamos usar as seguintes relações trigonométricas exponenciais:

cos ⁡ t = e j t + e - j t 2 ; sin ⁡ t = e j t - e - j t 2 j

Assim,

F ω = 2 j ω - 2 j sin ⁡ ω ω 2

F ω = 2 j ω - sin ⁡ ω ω 2  

Resposta

A transformada é igual a:

F ω = 2 j ω - sin ⁡ ω ω 2  

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