Enunciado

Obtenha as transformadas de Laplace das funções na figura.

Passo 1

A gente pode escrever essa figura aí da seguinte maneira: em forma de degrau.

f t = 1 u t + 1 u 1 t + 1 u 2 t - 3 u 3 t

Esses números na frente de cada degrau são valores correspondentes ao tamanho do das barrinhas verticais. Por exemplo, em t = 0 , temos um degrau de 1 unidade (barra vertical), em t = 1 , ele vai para 2 subindo 1 unidade novamente (barra vertical), em t = 2   ela sobe para 3 ( + 1 unidadi) e por fim... Em t = 3 ela cai 3 ficando 0 para sempre! Saca?

Pode verificar se quiser:

t = 1 2       →        

Então a única função degrau que não é 0 e sim 1 é u t , logo...

f t = 1 u 1 2 = 1

Se t = 1.5 , então u 2 t = 0 e u 3 t = 0 , mas os dois primeiros...

f t = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 = 2

Como deveria ser de fato, saca?

Passo 2

Com isso em mãos, basta aplicar a transformada de Laplace em todo mundo :

L f t = L u t + L u 1 t + L u 2 t - 3 L u 3 t

Ora, a transformada do degrau é...

L u c t = e - c s s

Então...

L f t = e 0 s + e - s s + e - 2 s s - 3 e - 3 s s =

1 + e - s + e - 2 s - 3 e - 3 s s

Resposta

1 + e - s + e - 2 s - 3 e - 3 s s

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