Enunciado

O resistor no circuito da Figura P8.11 é reduzido de 50 Ω para 40 Ω . Determine v 0 ( t ) para t ≥ 0 .

Passo 1

Faaaaala, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Para essa questãozinha aqui, devemos primeiro fazer a análise do circuito em duas situações: em t < 0 e em t > 0 .

Na primeira situação ( t < 0 ), teremos o seguinte cenário:

Portanto, temos que V 0 = 100   V , e que o valor de I 0 será o que está no circuito do enunciado: 5 A.

Na segunda situação ( t > 0 ) temos o seguinte:

Passo 2

Agora que já temos os dois cenários possíveis para os valores de t, vamos analisar a resposta do circuito, para determinar a equação geral de v 0 ( t ) .

Para isso, basta fazermos a comparação entre os valores de α e   ω 0 : Se α 2 > ω 0 2 , o circuito é superamortecido. Se α 2 < ω 0 2 , o circuito é subamortecido. E se α 2 = ω 0 2 , o circuito é criticamente amortecido.

Sendo assim, calcularemos primeiro os valores de α e   ω 0 :

Para α , utilizaremos a fórmula: α = 1 2 R C . Como os valores de R e C foram dados no enunciado, temos que:

α = 1 2 ( 40 ) ( 25 * 10 - 6 ) = 500   r a d / s

Já para ω 0 , temos que:

  ω 0 = 1 L C = 1 ( 160 * 10 - 3 ) ( 25 * 10 - 6 ) = 500

Portanto, comparando os dois valores, podemos afirmar que α 2 = ω 0 2 , portanto, o circuito é criticamente amortecido, e a equação geral de v 0 ( t ) é:

v 0 t = D 1 t e - α t + D 2 e - α t

Passo 3

Para concluir a questão e determinarmos a expressão de v 0 t , encontraremos agora os valores de D 1 e D 2 .

Para D 2 temos que:

v 0 0 = D 2 =   100   V

Para D 1 temos que:

d v 0 d t 0 = D 1 - α D 2 = 1 C - I 0 - V 0 R

D 1 - 500 ( 100 ) = 1 25 * 10 - 6 - 5 - 100 50

D 1 = - 250.000

Portanto, podemos afirmar que:

v 0 t = - 250.000 t e - 500 t + 100 e - 500 t   V ,   t ≥ 0

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

v 0 t = - 250.000 t e - 500 t + 100 e - 500 t   V ,   t ≥ 0

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