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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 60

Resolva a equação integro-diferencial

2 d x d t + 5 x + 3 ∫ 0 t x   d λ + 4 = s e n ( 4 t )

x 0 = 1

Passo 1

Primeiro vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo da equação beleza?

2 s X s - x 0 + 5 X s + 3 s Y s + 4 s = 4 s 2 + 16

Substituindo x 0 = 1

2 s X s - 1 + 5 X s + 3 s Y s + 4 s = 4 s 2 + 16

Colocando X ( s ) em evidência:

X s . 2 s + 5 + 3 s = 4 s 2 + 16 - 4 s + 2

Somando os termos do lado direito:

X s . 2 s + 5 + 3 s = 4 s - 4 s 2 + 16 + 2 s ( s 2 + 16 ) s ( s 2 + 16 )

X s . 2 s + 5 + 3 s = 4 s - 4 s 2 - 64 + 2 s 3 + 32 s s ( s 2 + 16 )

X s . 2 s + 5 + 3 s = 2 s 3 - 4 s 2 + 36 s - 64 s ( s 2 + 16 )

Passo 2

Agora vamos isolar X ( s ) , pois assim teremos a expressão de X ( s ) e encontrando a sua transformada inversa, encontraremos x t , solução da equação diferencial :)

X s = 2 s 3 - 4 s 2 + 36 s - 64 2 s + 5 + 3 s s ( s 2 + 16 )

X s = 2 s 3 - 4 s 2 + 36 s - 64 2 s ² + 5 s + 3 ( s 2 + 16 )

Dividindo em cima e embaixo por 2:

X s = s 3 - 2 s 2 + 18 s - 32 s ² + 5 2 s + 3 2 ( s 2 + 16 )

Como as raízes de s ² + 5 2 s + 3 2 são - 1,5 e - 1 :

X s = s 3 - 2 s 2 + 18 s - 32 ( s + 1 ) ( s + 1,5 ) ( s 2 + 16 )

Passo 3

Belezinha, agora, para acharmos a transformada inversa de Y ( s ) , vamos fazer as famosas frações parciais:

s 3 - 2 s 2 + 18 s - 32 ( s + 1 ) ( s + 1,5 ) ( s 2 + 16 ) = A s + 1 + B s + 1,5 + C s + D s 2 + 16

Fazendo todo aquele processinho de frações parciais da seção anterior, encontramos:

A = - 6,2

B = 7,3

C = - 0,09

D = 0,2

Então:

s 3 - 2 s 2 + 18 s - 32 ( s + 1 ) ( s + 1,5 ) ( s 2 + 16 ) = - 6,2 s + 1 + 7,3 s + 1,5 + - 0,09 s + 0,2 s 2 + 16

Separando a última fração em duas:

s 3 - 2 s 2 + 18 s - 32 ( s + 1 ) ( s + 1,5 ) ( s 2 + 16 ) = - 6,2 s + 1 + 7,3 s + 1,5 - 0,09 s s 2 + 4 ² + 0,05 4 s 2 + 4 ²

Calculando a transformada inversa de cada termo:

x t = - 6,2 e - t + 7,3 e - 1,5 t - 0,09 cos ⁡ 4 t + 0,05 s e n ( 4 t )

Resposta

x t = - 6,2 e - t + 7,3 e - 1,5 t - 0,09 cos ⁡ 4 t + 0,05 s e n ( 4 t )

Ver Outros Exercícios desse livro