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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 60

Resolva a equação integro-diferencial

2 (d x)/(d t) + 5 x + 3 int_0^t x d lambda + 4 = s e n ( 4 t )

x (0) = 1

Passo 1

Primeiro vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo da equação beleza?

2 (s X (s) - x (0)) + 5 X (s) + (3)/(s) Y (s) + (4)/(s) = (4)/(s^2 + 16)

Substituindo x (0) = 1

2 (s X (s) - 1) + 5 X (s) + (3)/(s) Y (s) + (4)/(s) = (4)/(s^2 + 16)

Colocando X ( s ) em evidência:

X (s) . (2 s + 5 + (3)/(s)) = (4)/(s^2 + 16) - (4)/(s) + 2

Somando os termos do lado direito:

X (s) . (2 s + 5 + (3)/(s)) = (4 s - 4 (s^2 + 16) + 2 s ( s^2 + 16 ))/(s ( s^2 + 16 ))

X (s) . (2 s + 5 + (3)/(s)) = (4 s - 4 s^2 - 64 + 2 s^3 + 32 s)/(s ( s^2 + 16 ))

X (s) . (2 s + 5 + (3)/(s)) = (2 s^3 - 4 s^2 + 36 s - 64)/(s ( s^2 + 16 ))

Passo 2

Agora vamos isolar X ( s ) , pois assim teremos a expressão de X ( s ) e encontrando a sua transformada inversa, encontraremos x (t) , solução da equação diferencial :)

X (s) = (2 s^3 - 4 s^2 + 36 s - 64)/((2 s + 5 + (3)/(s)) s ( s^2 + 16 ))

X (s) = (2 s^3 - 4 s^2 + 36 s - 64)/((2 s ² + 5 s + 3) ( s^2 + 16 ))

Dividindo em cima e embaixo por 2:

X (s) = (s^3 - 2 s^2 + 18 s - 32)/((s ² + (5)/(2) s + (3)/(2)) ( s^2 + 16 ))

Como as raízes de s ² + (5)/(2) s + (3)/(2) são - 1,5 e - 1 :

X (s) = (s^3 - 2 s^2 + 18 s - 32)/(( s + 1 ) ( s + 1,5 ) ( s^2 + 16 ))

Passo 3

Belezinha, agora, para acharmos a transformada inversa de Y ( s ) , vamos fazer as famosas frações parciais:

(s^3 - 2 s^2 + 18 s - 32)/(( s + 1 ) ( s + 1,5 ) ( s^2 + 16 )) = (A)/(s + 1) + (B)/(s + 1,5) + (C s + D)/(s^2 + 16)

Fazendo todo aquele processinho de frações parciais da seção anterior, encontramos:

A = - 6,2

B = 7,3

C = - 0,09

D = 0,2

Então:

(s^3 - 2 s^2 + 18 s - 32)/(( s + 1 ) ( s + 1,5 ) ( s^2 + 16 )) = (- 6,2)/(s + 1) + (7,3)/(s + 1,5) + (- 0,09 s + 0,2)/(s^2 + 16)

Separando a última fração em duas:

(s^3 - 2 s^2 + 18 s - 32)/(( s + 1 ) ( s + 1,5 ) ( s^2 + 16 )) = (- 6,2)/(s + 1) + (7,3)/(s + 1,5) - (0,09 s)/(s^2 + 4 ²) + 0,05 (4)/(s^2 + 4 ²)

Calculando a transformada inversa de cada termo:

x (t) = - 6,2 e^(- t) + 7,3 e^(- 1,5 t) - 0,09 cos (4 t) + 0,05 s e n ( 4 t )

Resposta

x (t) = - 6,2 e^(- t) + 7,3 e^(- 1,5 t) - 0,09 cos (4 t) + 0,05 s e n ( 4 t )

Ver Outros Exercícios desse livro