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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 61b

Resolva a equação integro-diferencial a seguir considerando as condições iniciais dadas.

b) d 2 i d t 2 + 5 d i d t + 4 i = 0 ,   i 0 = - 1 , d i 0 d t = 0

Passo 1

b) Primeiro vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo da equação beleza?

s 2 I s - s i 0 - i ' 0 + ( 5 s I s - 5 i 0 ) + 4 I ( s ) = 0

Substituindo as condições dadas no enunciado:

s 2 I s - s ( - 1 ) - 0 + ( 5 s I s - 5 . ( - 1 ) ) + 4 I ( s ) = 0

s 2 I s + s + ( 5 s I s + 5 ) + 4 I ( s ) = 0

Colocando I ( s ) em evidência:

I s . s 2 + 5 s + 4 = - s - 5

Agora vamos isolar I ( s ) , pois assim teremos a expressão de I ( s ) e encontrando a sua transformada inversa, encontraremos i t , solução da equação :)

I s = - s - 5 s 2 + 5 s + 4

Como as raízes de s 2 + 5 s + 4 são - 1 e - 4 :

I s = - s - 5 ( s + 1 ) ( s + 4 )

Passo 2

Belezinha, agora, para acharmos a transformada inversa de I ( s ) , vamos fazer as famosas frações parciais:

- s - 5 ( s + 1 ) ( s + 4 ) = A s + 1 + B s + 4

- s - 5 = A s + 4 + B ( s + 1 )

- s - 5 = A + B s + 4 A + B

Igualando os termos de cada lado, temos o sistema:

A + B = - 1 4 A + B = - 5

Resolvendo esse sistema, temos:

A = - 4 3

B = 1 3

Então:

- s - 5 ( s + 1 ) ( s + 4 ) = - 4 3 s + 1 + 1 3 s + 4

Fazendo a transformada inversa de cada termo:

i t = - 4 3 e - t + 1 3 e - 4 t   a m p é r e s

Resposta

b) i t = - 4 3 e - t + 1 3 e - 4 t   a m p é r e s

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