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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 50

Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial

d 2 v t d t ² + 2 d v t d t + 10 v t = 3 c o s ⁡ ( 2 t )

Considere v 0 = 1 , d v 0 d t = - 2

Passo 1

Primeiro vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo da equação beleza?

d 2 v t d t ² + 2 d v t d t + 10 v t = 3 c o s ⁡ ( 2 t )

Lembrando quais são as transformadas de Laplace de derivadas:

L f n t = s n L f t - s n - 1 f 0 - s n - 2 f 0 - … - f n - 1 ( 0 )

Então, a transformada de Laplace da nossa equação é:

s 2 V s - s v 0 - v ' 0 + 2 s V s - v 0 + 10 V s = 3 s s 2 + 4

Passo 2

Agora vamos substituir v ( 0 ) e v ' ( 0 ) pelos valores dados no enunciado:

s 2 V s - s . 1 - ( - 2 ) + 2 s V s - 1 + 10 V s = 3 s s 2 + 4

s 2 V s - s + 2 + 2 s V s - 2 + 10 V s = 3 s s 2 + 4

Passando s pro outro lado e colocando V ( s ) em evidência:

V s . s 2 + 2 s + 10 = s + 3 s s 2 + 4

V s . s 2 + 2 s + 10 = s 2 + 4 . s s 2 + 4 + 3 s s 2 + 4

V s . s 2 + 2 s + 10 = s 3 + 4 s s 2 + 4 + 3 s s 2 + 4

V s . s 2 + 2 s + 10 = s 3 + 7 s s 2 + 4

Nosso próximo passo é isolar V ( s ) , pois assim teremos a expressão de V ( s ) e encontrando a sua transformada inversa, encontraremos v t , solução da equação diferencial :)

V s = s 3 + 7 s s 2 + 2 s + 10 . ( s 2 + 4 )

Passo 3

Opa, agora para encontrarmos a transformada inversa, vamos começar fazendo frações parciais:

s 3 + 7 s s 2 + 2 s + 10 . ( s 2 + 4 ) = A s + B s 2 + 2 s + 10 + C s + D s 2 + 4

Somando as duas frações:

s 3 + 7 s s 2 + 2 s + 10 . ( s 2 + 4 ) = A s + B s 2 + 4 + ( C s + D ) s 2 + 2 s + 10 s 2 + 2 s + 10 . ( s 2 + 4 )

Cortando os denominadores (que são iguais):

s 3 + 7 s = A s + B s 2 + 4 + ( C s + D ) s 2 + 2 s + 10

s 3 + 7 s = A s 3 + 4 A s + B s 2 + 4 B + C s 3 + 2 C s 2 + 10 C s + D s 2 + 2 D s + 10 D

s 3 + 7 s = A + C s 3 + B + 2 C + D s 2 + 4 A + 10 C + 2 D s + 4 B + 10 D

Passo 4

Igualando os termos que multiplicam s ³ , s ² , s e os termos independentes:

A + C = 1 B + 2 C + D = 0 4 A + 10 C + 2 D = 7 4 B + 10 D = 0

Resolvendo esse sistema, temos:

A = 17 26

B = - 30 26

C = 9 26

D = 12 26

Então:

s 3 + 7 s s 2 + 2 s + 10 . ( s 2 + 4 ) = 17 26 s - 30 26 s 2 + 2 s + 10 + 9 26 s + 12 26 s 2 + 4

Dessa forma, temos

V s = 1 26 17 s - 30 s 2 + 2 s + 10 + 9 s + 12 s 2 + 4

Remanejando as frações para chegarmos a algum modelo da tabela:

V s = 1 26 17 s + 1 s + 1 2 + 3 ² - 47 s + 1 2 + 3 ² + 9 s s 2 + 4 + 6 2 s 2 + 4

Agora vamos encontrar a transformada inversa verificando cada modelo que temos nesses termos :P

v t = 1 26 17 e - t cos ⁡ 3 t - 47 3 e - t s e n 3 t + 9 cos ⁡ 2 t + 6 s e n 2 t

Resposta

v t = 1 26 17 e - t cos ⁡ 3 t - 47 3 e - t s e n 3 t + 9 cos ⁡ 2 t + 6 s e n 2 t

Ver Outros Exercícios desse livro