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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 61d

Resolva a equação integro-diferencial a seguir considerando as condições iniciais dadas.

d) d 2 i d t 2 + 2 d i d t + 5 i = 10 ,   i 0 = 4 , d i 0 d t = - 2

Passo 1

d) Primeiro vamos calcular a transformada de Laplace de cada termo da equação beleza?

s 2 I s - s i 0 - i ' 0 + ( 2 s I s - 2 i 0 ) + 5 I ( s ) = 10 s

Substituindo as condições dadas no enunciado:

s 2 I s - 4 s - ( - 2 ) + ( 2 s I s - 2 . 4 ) + 5 I ( s ) = 10 s

s 2 I s - 4 s + 2 + ( 2 s I s - 8 ) + 5 I ( s ) = 10 s

Colocando I ( s ) em evidência:

I s s 2 + 2 s + 5 = 10 s + 4 s + 6

Somando os termos do lado direito:

I s s 2 + 2 s + 5 = 10 s + 4 s 2 + 6 s s

I s s 2 + 2 s + 5 = 4 s 2 + 6 s + 10 s

Agora vamos isolar I ( s ) , pois assim teremos a expressão de I ( s ) e encontrando a sua transformada inversa, encontraremos i t , solução da equação :)

I s = 4 s 2 + 6 s + 10 s s 2 + 2 s + 5

Passo 2

Belezinha, agora, para acharmos a transformada inversa de I ( s ) , vamos fazer as famosas frações parciais:

4 s 2 + 6 s + 10 s s 2 + 2 s + 5 = A s + B s + C s 2 + 2 s + 5

4 s 2 + 6 s + 10 = A s 2 + 2 A s + 5 A + B s 2 + C s

4 s 2 + 6 s + 10 = s 2 A + B + s 2 A + C + 5 A

Igualando os termos, chegamos ao sistema:

A + B = 4 2 A + C = 6 5 A = 10

Resolvendo o sistema, temos:

A = 2

B = 2

C = 2

Então:

4 s 2 + 6 s + 10 s s 2 + 2 s + 5 = 2 s + 2 s + 2 s 2 + 2 s + 5

Passo 3

Remanejando a segunda fração:

4 s 2 + 6 s + 10 s s 2 + 2 s + 5 = 2 s + 2 ( s + 1 ) s 2 + 2 s + 1 + 4

4 s 2 + 6 s + 10 s s 2 + 2 s + 5 = 2 s + 2 ( s + 1 ) ( s + 1 ) ² + 2 ²

Fazendo a transformada inversa de cada termo:

i t = 2 u t + 2 e - t cos ⁡ 2 t a m p è r e s

Resposta

c) i t = 2 u t + 2 e - t cos ⁡ 2 t a m p è r e s

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