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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Questões para revisão - Ex. 10

O resultado de u t * u t é:

  1. u 2 t
  2. t 2 u t
  3. t u t
  4. δ t

Passo 1

Ora, o símbolo “ * ” significa convolução e pela definição temos que...

f t * g t = ∫ 0 t f τ ⋅ g t - τ d τ

Só que no nosso caso f e g são ambas a função degrau u t , se lembra da definição de função degrau?

u t = 0 ,           t < 0 1 ,         0 ≤ t

Então...

u t * u t = ∫ 0 t u τ ⋅ u t - τ d τ

A gente vai precisar “filosofar” um pouco antes de resolvermos essa integral! Bora?

Passo 2

Poxa! Assim, pela definição, trocando t por τ :

u τ = 0 ,           τ < 0 1 ,         0 ≤ τ

Enquanto que:

u t - τ = 0 ,           t - τ < 0 1 ,         0 ≤ t - τ   →

u t - τ = 0 ,           t < τ 1 ,         τ ≤ t

Lembre-se de que τ é a variável da integral e sempre varia entre 0 e t (limites da integral):

0 ≤ τ ≤ t

Então vamos considerar 2 casos: t < 0 e t ≥ 0 .

NO SEGUNDO CASO, u τ vai ser igual a 1 , já que trata-se de τ deve ser maior que 0 , enquanto que u t - τ também vai ser 1 , já que τ deve ser menor que t :

u t * u t = ∫ 0 t u τ ⋅ u t - τ d τ =

u t * u t = ∫ 0 t 1 d τ =

t - 0 = t

NO PRIMEIRO CASO, onde t < 0 , como τ tem que ser menor que t , então podemos falar que nesse caso, τ < 0 , então, u τ = 0 ! Logo...

u t * u t = ∫ 0 t u τ ⋅ u t - τ d τ =

0

Passo 3

Então, concluímos que:

u t * u t = t ,         p a r a         t ≥ 0

u t * u t = 0 ,         p a r a         t < 0

Outra forma de falarmos isso é através de degrau:

u t * u t = t u t

Pois, pela definição...

u t * u t = t ⋅ 1 ,       t ≥ 0 t ⋅ 0 ,       t < 0 =

t ,       t ≥ 0 0 ,       t < 0

Saca?

Resposta

D )   t u t

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