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Enunciado

Elétrica - Sadiku - Fundamentos de Circuitos Elétricos- Ed: 5º - Capítulo 15.Questões para revisão - Ex. 10

O resultado de u (t) * u (t) é:

  1. u^2 (t)
  2. t^2 u (t)
  3. t u (t)
  4. delta (t)

Passo 1

Ora, o símbolo “ * ” significa convolução e pela definição temos que...

f (t) * g (t) = int_0^t f (tau) * g (t - tau) d tau

Só que no nosso caso f e g são ambas a função degrau u (t) , se lembra da definição de função degrau?

u (t) = {[[0 , t < 0],[1 , 0 <= t]])

Então...

u (t) * u (t) = int_0^t u (tau) * u (t - tau) d tau

A gente vai precisar “filosofar” um pouco antes de resolvermos essa integral! Bora?

Passo 2

Poxa! Assim, pela definição, trocando t por tau :

u (tau) = {[[0 , tau < 0],[1 , 0 <= tau]])

Enquanto que:

u (t - tau) = {[[0 , t - tau < 0],[1 , 0 <= t - tau]]) ->

u (t - tau) = {[[0 , t < tau],[1 , tau <= t]])

Lembre-se de que tau é a variável da integral e sempre varia entre 0 e t (limites da integral):

0 <= tau <= t

Então vamos considerar 2 casos: t < 0 e t >= 0 .

NO SEGUNDO CASO, u (tau) vai ser igual a 1 , já que trata-se de tau deve ser maior que 0 , enquanto que u (t - tau) também vai ser 1 , já que tau deve ser menor que t :

u (t) * u (t) = int_0^t u (tau) * u (t - tau) d tau =

u (t) * u (t) = int_0^t 1 d tau =

(t - 0) = t

NO PRIMEIRO CASO, onde t < 0 , como tau tem que ser menor que t , então podemos falar que nesse caso, tau < 0 , então, u (tau) = 0 ! Logo...

u (t) * u (t) = int_0^t u (tau) * u (t - tau) d tau =

0

Passo 3

Então, concluímos que:

u (t) * u (t) = t , p a r a t >= 0

u (t) * u (t) = 0 , p a r a t < 0

Outra forma de falarmos isso é através de degrau:

u (t) * u (t) = t u (t)

Pois, pela definição...

u (t) * u (t) = {[[t * 1 , t >= 0],[t * 0 , t < 0]]) =

{[[t , t >= 0],[0 , t < 0]])

Saca?

Resposta

D ) t u (t)

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