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Enunciado

Elétrica - Johnson, D. E., Hilburn, J. L., Johnson, J. R. - Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, PHB- Ed: 4º - Capítulo 1.4 - Ex. 2

A tensão nos terminais de uma fonte de tensão é v = 6 ∙ s e n   ( 2 t )   V . Se a carga que deixa o terminal positivo é q   = - 2 ∙ cos ⁡ 2 t   m C , calcule a potência fornecida pela fonte a qualquer tempo e a energia fornecida pela fonte entre 0 e   t segundos.

Passo 1

Faaalaaa, galeraaa!

Primeiramente, vamos calcular a potência fornecida pela fonte. Para isso, vamos utilizar a seguinte equação:

p = v ∙ i

Sabemos, pelo enunciado, que a tensão é dada por:

v = 6 ∙ s e n   ( 2 t )   V

A corrente é dada pela derivada da carga, então:

i = d q d t = d ( - 2 ∙ cos ⁡ ( 2 t ) ) d t

Derivada do cosseno:

d cos ⁡ ( a x ) d x = - a sen ⁡ ( a x )

Logo,

i = - 4 ∙ sen ⁡ 2 t   m A

Então a potência será:

p = ( 6 ∙ s e n   ( 2 t ) ) ∙ ( - 4 ∙ sen ⁡ 2 t )

p = 24 ∙ s e n 2 ⁡ 2 t   m W

Passo 2

Agora vamos calcular a energia fornecida pela fonte. Para isso, devemos calculara a integral da potência entre 0 e   t .

w = ∫ 0 t p   d t = ∫ 0 t 24 ∙ sen 2 ⁡ 2 t d t

Substituição para fazer a integral:

sen 2 ⁡ A = 1 2 ( 1 - cos ⁡ 2 A )

w = ∫ 0 t 24 1 2 - 1 2 cos ⁡ ( 4 t ) d t

w = ∫ 0 t 24 2 d t - ∫ 0 t 24 2 cos ⁡ ( 4 t ) d t

Integrando e substituindo os limites de integração, obtemos:

w = 12 0 t - 12 0 t cos ⁡ ( 4 t ) d t

w = 12 t - 12 4 sin ⁡ 4 t + 12 4 sin ⁡ ( 4 ∙ 0 )

w = 12 t - 3 sin ⁡ 4 t   m J

Prontinho!

Resposta

p = 24 ∙ sen 2 ⁡ 2 t   m W

w = 12 t - 3 sin ⁡ 4 t   m J

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