Enunciado

Use o método das transformadas de Fourier para obter v o ( t ) no circuito da Figura 18.51.

Passo 1

Nessas questões que envolvem Fourier e circuitos elétricos, a jogada da questão sempre vai estar na função de transferência do circuito. Por isso, é sempre importante que tenhamos atenção na hora de fazermos as questões, para não vacilar com o H ( ω ) ! A primeira coisa a se fazer aqui, é transformar os componentes que estão no domínio do tempo para o domínio da frequência! Já transformando, vamos considerar o circuito abaixo:

Passo 2

Primeiro, temos que a tensão é:

V s = π [ δ ω + 1 + δ ( ω - 2 ) ]

Isso por causa da simples transformação de cos ⁡ t .

Então, vamos continuar! Fazendo uma analise de malha, temos que para a malha 1:

- V s + 2 + j 2 ω I 1 - 2 I 2 - j ω I 2 = 0

V s = 2 ( 2 1 + j ω I 1 - 2 + j ω I 2

Para a malha 2,

0 = 3 + j ω I 2 - 2 I 1 - j ω I 1

I 1 = 3 + ω I 2 ( 2 + ω )

Passo 3

Agora misturando as malhas, jogando a malha 2 na malha 1, teremos:

V S = 2 2 1 + j ω 3 + j ω I 2 2 + j ω - 2 + j ω I 2

V s = I 2 ( 2 + j 4 ω - ω 2 )

Continuando,

V o = I 2 = j ω + 2 π [ δ ω + 1 + δ ( ω - 1 ) ] j ω 2 + j ω 4 + 2

Certo galera, agora o bixo pega! Vamos transformar isso para o domínio do tempo, pelo método da integral. Porque, acreditem, é o mais simples! Vamos lá!

v o t = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ v o ω e - j ω t d ω

= ∫ - ∞ ∞ 1 2 j ω + 2 π [ δ ω + 1 ] j ω 2 + j ω 4 + 2 d ω + 1 2 j ω + 2 π [ δ ω - 1 ] j ω 2 + j ω 4 + 2 d ω

= 1 2 - j + 2 e j t - 1 - j 4 + 2 + 1 2 j + 2 e j t - 1 + j 4 + 2

Simplificando tudo isso, temos:

v o t = 0.271 e - j t - 13.64 ° + 0.271 e j t - 13.64 °

v o t = 542 cos ⁡ t - 13.64 ° m V

Resposta

v o t = 542 cos ⁡ t - 13.64 ° m V

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