Em
, a aceleração de uma partícula em movimento circular no sentido anti-horário é
. Qual é o raio da trajetória da partícula se a diferença
é menor que um período?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula que está se movendo em um círculo no sentido anti-horário e nos dá a aceleração dela em um certo instante de tempo, que é
. Nosso objetivo aqui é encontrar o raio da trajetória dessa partícula. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento circular e aceleração centrípeta.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que em um movimento circular uniforme (onde a velocidade muda de direção, mas não de intensidade), a aceleração está sempre apontando para o centro do círculo e é chamada de aceleração centrípeta. A fórmula para a aceleração centrípeta é:
onde
é a velocidade tangencial da partícula e
é o raio da trajetória.
Passo 3
No nosso caso, a aceleração total
é a centrípeta, já que estamos assumindo que o movimento é circular uniforme (não há menção de aceleração tangencial). Então, podemos calcular a magnitude da aceleração centrípeta a partir das componentes fornecidas.
Primeiro, vamos calcular a magnitude da aceleração:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar essa aceleração centrípeta com o raio da trajetória. Como vimos na fórmula do passo 2:
Mas não temos o valor de
. Porém, podemos usar a relação entre a velocidade angular
e o período
do movimento circular:
E sabemos que:
Passo 5
Substituindo
na expressão de
, temos:
Agora, substituímos
na fórmula da aceleração centrípeta:
Passo 6
Isolando o raio
na equação acima:
Mas o enunciado diz que
é menor que um período
. Isso sugere que estamos considerando um intervalo de tempo muito pequeno em relação ao período completo, o que pode implicar que a aceleração é aproximadamente constante nesse intervalo.
No entanto, como não temos mais informações sobre o período
, parece que precisamos reconsiderar nossa abordagem.
Passo 7
Uma outra forma de relacionar a aceleração centrípeta e o raio é através da frequência angular
. Sabemos que:
Então, podemos isolar
:
Mas novamente, sem o valor de
, não conseguimos prosseguir diretamente.
Passo 8
Dado que
é menor que um período, podemos interpretar que estamos trabalhando com uma variação muito pequena de tempo, o que pode indicar que a velocidade angular
não varia significativamente nesse intervalo. Portanto, podemos assumir que a aceleração centrípeta é constante e usar apenas a relação direta entre
,
, e
.
Relembrando:
Então, rearranjando para encontrar
:
Mas ainda falta o valor de
.
Passo 9
Parece que precisamos de uma abordagem diferente. Se considerarmos que a aceleração fornecida é puramente centrípeta, podemos usar a relação geométrica entre as componentes para encontrar a direção do centro e, consequentemente, o raio.
Sabemos que a aceleração centrípeta aponta para o centro do círculo. As componentes da aceleração são
e
. Isso significa que o vetor aceleração está direcionado no sentido
.
A relação entre as componentes do vetor posição
e as componentes da aceleração centrípeta é proporcional. Portanto, podemos estabelecer que:
Passo 10
Usando a relação acima:
Isso implica que:
Então, o raio
pode ser encontrado a partir dessas proporções.
Resposta
Após os cálculos, o raio da trajetória da partícula é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Quando um objeto é colocado entre um espelho convexo e o ponto focal do espelho,
a) forma-se uma imagem real.
b) forma-se uma imagem virtual.
c) não se forma uma imagem.
a) forma-se uma imagem real.
b) forma-se uma imagem virtual.
c) não se forma uma imagem.
Julgue as alternativas a seguir em verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique cada alternativa falsa.
( ) A energia de um sistema fechado por paredes adiabáticas se conserva independente do processo termodinâmico que ocorra neste sistema.
( ) Em um processo reversível num sistema fechado formado por um gás ideal, a variação de entalpia é nula se ocorrer uma expansão adiabática.
( ) Conhecendo-se apenas o estado inicial e final de um sistema termodinâmico em um processo reversível é possível calcular a energia trocada entre sistema e vizinhança na forma de trabalho.
( ) Se um sistema isolado, inicialmente em equilíbrio térmico com a vizinhança a , for colocado em uma nova vizinhança, a
, em algum momento ele alcançará um novo equilíbrio térmico.
( ) Dois sistemas em equilíbrio térmico terão necessariamente a mesma temperatura.
( ) É impossível que um sistema isolado varie suas propriedades termodinâmicas à medida que o tempo passa.
( ) A energia de um sistema fechado por paredes adiabáticas se conserva independente do processo termodinâmico que ocorra neste sistema.
( ) Em um processo reversível num sistema fechado formado por um gás ideal, a variação de entalpia é nula se ocorrer uma expansão adiabática.
( ) Conhecendo-se apenas o estado inicial e final de um sistema termodinâmico em um processo reversível é possível calcular a energia trocada entre sistema e vizinhança na forma de trabalho.
( ) Se um sistema isolado, inicialmente em equilíbrio térmico com a vizinhança a
( ) Dois sistemas em equilíbrio térmico terão necessariamente a mesma temperatura.
( ) É impossível que um sistema isolado varie suas propriedades termodinâmicas à medida que o tempo passa.
Sabendo que a relação entre volume e pressão para um gás ideal é dada por
, onde
e
é uma contante, responda:
Usando a relação de Maxwell apropriada, calcule a variação de entropia, , do gás em função da temperatura
quando o mesmo vai do volume
até o volume
.
Usando a relação de Maxwell apropriada, calcule a variação de entropia,
Sabendo que a relação entre volume e pressão para um gás ideal é dada por
, onde
e
é uma contante, responda:
Encontre a relação entre a pressão e temperatura para este gás, isto é, a relação entre e
. Escreva sua resposta em função de
(número de mols),
e
.
Encontre a relação entre a pressão e temperatura para este gás, isto é, a relação entre